5.2. Складання плану повного факторного експерименту

Повний факторний експеримент (ПФЭ) − це експеримент, у якому реалізуються всі можливі комбінації розглянутих рівнів факторів, а результати оцінюються за допомогою статистичного аналізу. Число досвідів у повному факторному експерименті визначається зі співвідношення:

N=P^k ,

де N – число досвідів;

Р = 2 – число рівнів варіювання факторів;

k = 4 – число факторів.

Це співвідношення справедливо для випадку, коли число рівнів для всіх факторів плану однаково. У випадку двухрівневого варіювання факторів (+1 і -1) число досвідів у ПФЭ дорівнює: N=2^k = 2⁴ = 16.

У плані ПФЭ (матриці планування) при варіюванні факторів на двох рівнях показують тільки знаки + або -.

У першому стовпці матриці планування вказують кодоване значення числа (b₀) у рівнянні регресії. Число стовпців матриці дорівнює числу факторів, що враховують. Іноді додають стовпці, що відповідають взаємодіям факторів.

Число рядків визначається з умови N = 2^k. В окремому стовпці вказують номера досвідів.

Повний факторний експеримент ставиться до числа планів, які є найбільш ефективними при побудові лінійних моделей.

Достоїнствами ПФЭ варто вважати ортогональність, рототабельність, симетричність щодо центра експерименту й відповідність рівню нормірування.

Планування називається ортогональним, якщо сума добутків двох будь-яких стовпців матриці дорівнює нулю, тобто:

при j u ,

де j, u =0,1,…, K;

K = 4 − число факторів (номер останнього стовпця плану);

N = 16 − число досвідів;

i − номер досвіду.

Ортогональність плану дозволяє одержувати оцінки для коефіцієнтів регресії незалежними друг від друга й дає можливість відкидати ті фактори, при яких коефіцієнти виявляються незначущими.

Умові симетричності плану щодо центра експерименту відповідає співвідношення:

при

Умова нормірування плану виконується, якщо:

при

При виконанні умов ортогональності, симетричності й нормірування плану коефіцієнти рівняння регресії оцінюються з мінімальною регресією.

5.3. Статичний аналіз результатів експерименту

Будь-який експеримент складається із групи досвідів, окремий досвід складається з декількох спостережень (повторень досвіду), а кожне спостереження − із серії повторних вимірів. Відповідно розрізняють помилку експерименту (помилку відтворюваності), помилки досвідів і помилки спостережень. Знання помилок досвідів і експерименту необхідно для правильного рішення задач, пов'язаних з оцінкою точності й надійності результатів роботи, визначенням значимості коефіцієнтів рівняння й перевіркою адекватності (придатності) одержуваних математичних моделей.

Розрізняють кілька видів помилок вимірів: грубі, систематичні й випадкові. Грубі помилки можливі через порушення основних умов виміру або у зв'язку з недоглядом дослідника, його неуважністю. Результат, що містить грубу помилку, називається промахом. При виявленні грубої помилки рекомендується відразу ж відкинути відповідний результат виміру.

Систематичні помилки викликаються впливом факторів, які проявляються однаково при багаторазовому повторенні тих самих вимірів. Після виявлення систематичних помилок (шляхом виміру, наприклад, різними приладами або різними методами тих самих величин) їх можна легко усунути шляхом введення необхідних виправлень.

При обробці результатів досліджень, пов'язаних із плануванням експерименту, уважають, що систематичні помилки попередньо усунуті й можуть мати місце лише промахи й випадкові помилки.

Передбачається, що розподіл результатів окремих спостережень підкоряється закону нормального розподілу; тому при обробці результатів експерименту визначають середнє арифметичне значення вихідного параметра Y_i (i = 1, 2, ..., N) в окремому i-му досвіді й дисперсію помилки досвіду S_i² :

,

.

Таблиця 5.2

№	Рівень факторів					Вихідний параметр					Yi.cp	Si2
	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5
1	1	1	1	1	1	7	8	9	9	6	7,8	1,7
2	1	-1	1	1	1	6	7	7	5	6	6,2	0,7
3	1	1	-1	1	1	7	8	9	10	7	8,2	1,7
4	1	-1	-1	1	1	5	6	5	4	5	5	0,5
5	1	1	1	-1	1	8	9	10	7	6	8	2,5
6	1	-1	1	-1	1	4	5	3	6	7	5	2,5
7	1	1	-1	-1	1	9	8	7	9	6	7,8	1,7
8	1	-1	-1	-1	1	3	4	3	2	5	3,4	1,3
9	1	1	1	1	-1	9	8	7	6	8	7,6	1,3
10	1	-1	1	1	-1	5	6	8	4	4	5,4	2,8
11	1	1	-1	1	-1	7	6	5	6	7	6,2	0,7
12	1	-1	-1	1	-1	4	3	2	4	3	3,2	0,7
13	1	1	1	-1	-1	8	7	7	6	5	6,6	1,3
14	1	-1	1	-1	-1	1	3	2	3	2	2,2	0,7
15	1	1	-1	-1	-1	5	3	3	4	3	3,6	0,8
16	1	-1	-1	-1	-1	2	3	4	2	5	3,2	1,7

Величина S_i² характеризує точність i-го досвіду. Припустимі відхилення величини від істинного значення вихідного параметраY можна оцінити з обліком необхідної довірчої ймовірності (), що характеризує надійність результатів досвідів. При цьому використається вираз:

тут t − критерій Стьюдента.

Значення критерію Стьюдента при прийнятій довірчій імовірності =0,95 і m=5 дорівнює: t_КР=2,78.

Тому що є результати виміру Y_ij при i - м досвіді, що «вискакує» за межі довірчого інтервалу (9), те це промах і його можна виключити з результатів вимірів. Після цього середнє значення вихідного параметра () і дисперсія помилки (S_i²) ці досвіди перераховується.