Лабораторна робота №1 Основні поняття теорії графів

Мета роботи: Ознайомлення студентів з основними поняттями теорії графів, поданням графів за допомогою матриці суміжності та матриці інцидентності, локальними ступенями вершин графа, повними графами, ізоморфізмом графів, частинами графа, суграфами та підграфами.

Теоретичні відомості

Нехай V - довільна множина, Е - деяка множина пар виду (v_i, v_j), де v_i, v_jV, тобто EV V. Сукупність двох множин G=(V,Е) називається графом з множиною вершин V і множиною ребер E. Графи зручно представляти графічно. При цьому елементи множини V зображають точками на площині, а ребра (v_i, v_j) відрізками (прямолінійними або криволінійними), що з'єднують точки v_i і v_j. Граф називається кінцевим, якщо безліч його вершин і ребер кінцева. Множину вершин графа G звичайно означають V(G), а множину ребер - Е(G).

Кількість вершин в графі n(G) називають його порядком. Кількість ребер графа, інцідентних деякій вершині v, називається локальним ступенем або просто ступенем вершини v і означається (v). Якщо е=(v, w)Е(G), то кажуть:

1. Вершини v і w суміжні;

2. Вершини v і w є кінцями ребра е;

3. Вершини v і w інцідентні ребру е;

4. Ребро е інцідентне вершині v і вершині w.

Два ребра називаються суміжними, якщо обидва вони інцідентні одній вершині.

Якщо пари (v, w)Е вважаються впорядкованими, то граф називається орієнтованим. У другому випадку граф називається неорієнтованим. Ребра орієнтованого графа прийнято називати дугами і зображати направленими відрізками.

Коли граф G - кінцевий, для опису його вершин і ребер досить їх занумерувати. Нехай v₁, v₂,..., v_n - вершини графа G; e₁, e₂,.., е_m - його ребра. Відношення інцідентності можна визначити матрицею ||_ij||, що має m рядків і n стовпців. Стовпці відповідають вершинам графа, рядки - ребрам. Якщо ребро e_i інцідентно вершині v_j, то _ij=1, в іншому випадку _ij=0. Це так звана матриця інцідентності звичайного графа G, яка є одним з способів його визначення.

Для графів, зображених на малюнках матриця інцідентності має нступний вигляд:

	v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7			v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7
e1	1	1	0	0	0	0	0		e1	-1	1	0	0	0	0	0
e2	1	0	1	0	0	0	0		e2	-1	0	1	0	0	0	0
e3	0	1	0	1	0	0	0		e3	0	-1	0	1	0	0	0
e4	1	0	0	0	1	0	0		e4	0	0	-1	0	1	0	0
e5	0	1	0	0	0	1	0		e5	0	0	-1	0	0	1	0
e6	0	0	1	1	0	0	0		e6	0	0	-1	0	0	0	1
e7	0	0	1	0	1	0	0		e7	0	0	0	0	0	0	2
e8	0	0	0	1	0	1	0		e8	0	-1	1	0	0	0	0
e9	0	0	0	0	1	0	1
e10	0	0	0	0	0	1	1
e11	0	0	0	0	1	1	0

Матриця суміжності графа - це квадратна матриця ||_ij||, стовпцям і рядкам якої відповідають вершини графа. Для неорієнтованого графа _ij дорівнює кількості ребер, інцідентних i-й і j-й вершинам.

Матриці суміжності розглянутих раніше графів мають наступний вигляд:

	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7			V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7
V1	0	1	1	0	1	0	0		V1	0	1	1	0	0	0	0
V2	1	0	0	1	0	1	0		V2	0	0	1	1	0	0	0
V3	1	0	0	1	1	0	0		V3	0	0	0	0	1	1	1
V4	0	1	1	0	0	1	0		V4	0	0	0	0	0	0	0
V5	1	0	1	0	0	1	1		V5	0	0	0	0	0	0	0
V6	0	1	0	1	1	0	1		V6	0	0	0	0	0	0	0
V7	0	0	0	0	1	1	0		V7	0	0	0	0	0	0	1

Граф Н називається частиною графа G(HG), якщо множина його вершин V(Н) міститься в множині V(G), а множина Е(Н) ребер - в Е(G). Якщо V(Н)=V(G), частина графа називається суграфом. Підграфом G(U) графа G називається частина графа з множиною вершин UV, якщо обидва кінці всіх її ребер належать U.

Маршрутом М в графі G називається така кінцева або нескінченна послідовність вершин і ребер, яка чергується (…v₁, е₁, v₂, е₂,…, v_n-1, е_n-1, v_n,…), що кожні два сусідні ребра e_i-1 і e_i мають загальну інцідентну вершину v_i. Маршрут М називається ланцюгом, якщо кожне ребро зустрічається в ньому не більше, ніж один раз, і простим ланцюгом, якщо будь-яка вершина, крім, можливо, початкової, зустрічається в ньому не більше, ніж один раз. Маршрут зветься циклічним або замкнутим, якщо він починається і звершується в одній і тій же верхівці. Якщо ланцюг замкнений, то його називають циклом, якщо простий ланцюг замкнений, то його називають простим циклом. Граф, будь-які 2 верхівки якого з’єднані маршрутом, зветься зв’язаним.

Ейлерові графи - це такі графи, в яких існують цикли, що проходять через усі верхівки, тобто які можна зобразити одним розчерком пера, причому процес такого зображення починається і закінчується в одній і тій же точці.

Теорема Ейлера. Кінцевий неорієнтований граф G ейлерів тоді і тільки тоді, коли він зв'язний і ступені всіх його вершин парні.

Гамільтоновим циклом називається простий цикл, що проходить через всі вершини графа, що розглядається. Граф, що містить гамільтонів цикл, називається гамільтоновим.

Дводольний граф G_{m, n} - це граф, множину вершин якого можна розбити на дві підмножини V₁ і V₂: , таким чином, що кожне ребро графа з'єднує вершини з різних підмножин.

Граф G називається деревом, якщо він є зв'язним і не має циклів. Наступні твердження еквівалентні:

1. граф G є дерево;

2. граф G є зв'язним і не має простих циклів;

3. граф G є зв'язним, і число його ребер рівно на одиницю менше числа вершин;

4. будь-які дві різні вершини графа G можна з'єднати єдиним (і притому простим) ланцюгом;

граф G не містить циклів, але, додаючи до нього будь-яке нове ребро, отримуємо рівно один (з точністю до напряму обходу і початкової вершини обходу) і притому простий цикл (що проходить через ребро, що додається ).