bmp

64

5 12,24 8,17 5,0 0 14,72 0,5547 7,36 0,5547 10,20 0,8

25,41 25,41 0.

5. Відповідь:

4.3. Задачі для самостійного розв’язування

Визначити зусилля в стержнях просторових ферм, представлених на рис.4.5.

Рис.4.5

5. Розрахунок шарнірно-консольної балки на нерухоме навантаження

5.1.Основні теоретичні відомості

Шарнірно-консольними називають статично визначувані багатопрогонові балки.

Кількісний етап кінематичного аналізу шарнірно-консольних балок виконується за формулою Чебишова, а аналіз геометричної структури полягає у побудові “поверхової”, або монтажної схеми. Для цього кожен елемент багатопрогонової балки необхідно представити як однопрогонову балку, яка має або одну опору затиснення, або дві шарнірні опори, одна з яких шарнірно-нерухома, а друга шарнірно-рухома. Кожна з таких однопрогонових балок спирається або на основу, або на інші прості балки. Сукупність простих балок, які спираються одна на одну створює схему “поверхів”. Під час аналізу всі проміжні шарніри умовно замінюють шарнірно-нерухомими або шарнірно-рухомими опорами і простежують спирання балок одна на одну.

Так, багатопрогонову балку, представлену на рис.5.1,а, можна розглядати як сукупність трьох однопрогонових балок, що спираються одна на одну (рис.5.1,б). Елемент AB, що безпосередньо спирається на основу розглядається як перший “поверх” шарнірно-консольної балки. Елемент BCD становить балку на двох шарнірних опорах C i D, одна з яких спирається на перший “поверх” і є другим “поверхом” шарнірно-консольної балки. Нарешті елемент DE спирається на балку другого “поверху” і тому може розглядатись як третій “поверх”.

Рис.5.1

Балку на рис.5.2,а яка складається з трьох елементів ABC. CD i DEF, можна розглядати як таку що утворена з трьох однопрогонових балок. Балки ABC i DEF, які безпосередньо спираються на основу (рис.5.2,б) утворюють перший, а елемент CD другий “поверх”.

66

Рис.5.2

“Поверхова” (монтажна) схема може бути використана під час статичного розрахунку шарнірно-консольної балки. Так, опорні реакції визначаються для балки кожного “поверху” окремо, причому розрахунок розпочинається з балки найверхнього “поверху”. Знайдені опорні реакції прикладаються до балки нижнього “поверху” як відомі зовнішні сили, що дозволяє обчислити реакції опор балки нижнього “поверху”.

Так, шарнірно-консольна балка на рис.5.3,а має два “поверхи”. Її “поверхова” схема показана на рис.5.3,б. Визначення реакцій опор необхідно починати з балки другого “поверху” AB. У результаті будуть обчислені реакції опор A i B. Знайдена реакція VB прикладається до балки першого “поверху” BCD разом з усіма зовнішніми силами як вже відома зовнішня сила, після чого обчислюються реакції опор C i D.

Рис.5. 3

У перерізах шарнірно-консольної балки, що знаходиться під дією вертикальних силових і моментних навантажень, виникають згинальні моменти і поперечні сили, а поздовжні сили завідомо дорівнюють нулю. Розрахунок балки може бути зведений до розрахунку її окремих поверхів: обчислення опорних реакцій і внутрішніх зусиль може здійснюватись для балок кожного “поверху” окремо. Згинальний момент в будь-якому перерізі k обчислюється як алгебраїчна сума моментів всіх сил, що діють на балку відповідного “поверху” по один бік від перерізу, відносно його центру:

67

Якщо сумарний момент односторонніх сил зумовлює розтягнення нижніх волокон, то згинальний момент вважається додатним.

Поперечна сила в будь-якому перерізі k обчислюється як сума проекцій на вертикальну вісь всіх сил, що діють на балку відповідного “поверху” по один бік від перерізу:

Додатною вважається поперечна сила, яка намагається повернути балку відносно перерізу за годинниковою стрілкою.

Для побудови епюр внутрішніх зусиль балка відповідного “поверху” поділяється на окремі ділянки, в межах яких зусилля характеризуються неперервними функціями. Границями ділянок беруться точки прикладення зовнішніх силових дій та опорних реакцій, а також перерізи, в яких починається або завершується прикладення розподілених навантажень.

На ділянках, де відсутнє розподілене навантаження, згинальні моменти змінюються за лінійним законом, а поперечна сила постійна. Тому для побудови епюри згинальних моментів достатньо обчислити відповідні величини в будь-яких двох перерізах ділянки, а для побудови епюри поперечних сил лише в одному. На епюрі згинальних моментів додатні величини відкладаються знизу, тобто з боку розтягнених волокон, а при побудові епюри поперечних сил зверху. Як правило, зусилля, що визначались для балок окремих “поверхів”, кресляться на загальній схемі всієї шарнірно-консольної балки.

Між згинальними моментами і поперечними силами існує диференціальна залежність Q dMdx

(теорема Журавського). Виходячи з геометричного змісту похідної можна сказати, що поперечна сила в перерізі дорівнює тангенсу кута між віссю балки та дотичною до епюри згинальних моментів.

5.2. Приклад розрахунку шарнірно-консольної балки

Виконати розрахунок шарнірно-консольної балки, представленої на рис.5.4,а.

Кінематичний аналіз

Балка складається з чотирьох дисків (стержні AB, BCD, DE і “земля”), двох кінематичних в’язей (шарірно-рухомі опори A i C), двох простих шарнірів (B i D) та однієї припайки (затиснення на опорі E), вузлів в’язей немає. Тобто D = 4, C = 2, Ш = 2, П = 1, В = 0. За формулою Чебишова

69

Розрахунок балок окремих поверхів

Розрахунок будемо вести окремо для балки кожного “поверху”, розпочинаючи з найверхнього. Для кожного з поверхів визначатимемо опорні реакції та внутрішні зусилля M i Q. Епюри відкладатимемо на загальній схемі шарнірно-консольної балки.

Третій “поверх” проста балка AB (рис.5.4,в)

На балку діє задане рівномірне розподілене навантаження та невідомі реакції опор VA, VB та HB. Визначаємо реакції опор з умов рівноваги балки AB:

Будемо розглядати балку як одну ділянку. Для обчислення внутрішніх зусиль призначимо три перерізи, два з яких (1 і 3) розташовані нескінченно близько до опор, а переріз 2 посередині прогону.

Знаходимо згинальні моменти в призначених перерізах:

M1 M1лів 0;

M2 M2лів 3,6 2 1,8 2 1 3,6 кНм;

M3 M3прав 0.

Поперечні сили:

Q1 Fyлів 3,6 кН;

Q3 Fyправ 3,6кН.

Другий “поверх” консольна балка BCD (рис.5.4,г)

В прогоні балки прикладено зовнішню зосереджену силу P = 10 кН, а на консолі – рівномірно розподілене навантаження q = 1,8 кН/м. До того ж на кінець консолі передається реакція VB верхнього поверху AB у вигляді зосередженої сили, величиною 3,6 кН. До того ж на балку діють невідомі реакції опор VС, VD та HD. Визначаємо реакції опор з умов рівноваги балки BCD:

70

Для визначення внутрішніх зусиль необхідно поділити балку на три ділянки, межами яких будуть місця прикладення зосереджених силових дій.

Перша ділянка обмежена точками прикладення реакції VB верхнього поверху і опорною реакцією VC. На цій ділянці розташовано рівномірно розподілене навантаження q = 1,8 кН/м. Для побудови епюр внутрішніх зусиль призначимо три перерізи, два з яких (перерізи 4 і 6)

розташовані нескінченно близько від границь ділянки, а ще один (переріз 5) посередині.

Друга ділянка обмежується точками прикладення опорної реакції VC і зовнішньої сили P. На цій ділянці призначимо перерізи 7 і 8, розташовані по кінцях ділянки. Аналогічно, по кінцям третьої ділянки, яка обмежується точками прикладення сили P та опорної реакції VD, призначаємо ще два перерізи (9 і 10).

Знаходимо згинальні моменти в призначених перерізах:

M4 M4лів 0;

M5 M5лів 3,6 1 1,8 1 0,5 4,5 кНм;

M6 M6лів 3,6 2 1,8 2 1 10,8 кНм;

M7 M7лів 3,6 2 1,8 2 1 10,8 кНм;

M8 M8прав 3,6 2 7,2 кНм;

M9 M9прав 3,6 2 7,2 кНм;

M10 M10прав 0.

Знаходимо поперечні сили в призначених перерізах:

Q4 Fyлів 3,6 кН;

Q6 Fyлів 3,6 1,8 2 7,2 кН;

Q7 Q8 Fyлів 3,6 1,8 2 14,9 7,7 кН;

Q9 Q10 Fyправ 2,3 кН.

Перший “поверх” консоль DE (рис.5.4,д)

Перший поверх знаходиться під дією зосередженого моменту M = 4 кНм, реакції VD верхнього “поверху”, яка прикладається до кінці консолі D як зосереджена сила, що дорівнює 2,3 кН, а також невідомих реакцій затиснення. Визначаємо реакції затиснення з умов рівноваги консолі: