bmp

21

Навпаки, будь-які дві кінематичні в’язі С1 і С2, які з’єднують пару дисків Д1 і Д2, можуть розглядатись як один циліндричний шарнір Ш1,2, розташований в точці перетину осей цих в’язей (рис.2.8,в,г) з тими ж кінематичними і статичними властивостями. Такий уявний шарнір називають фіктивним. Муфту М1,2 (рис.2.9,а) може бути замінено на дві паралельні в’язі С1 і С2, осі яких перпендикулярні до можливого взаємного переміщення з’єднаних нею дисків Д1 і Д2 (рис.2.9,б). Очевидно, що це з’єднання також може розглядатись як фіктивний шарнір, розташований на перетині паралельних в’язей С1 і С2, тобто на нескінченному віддаленні по напрямах обох кінематичних в’язей. Просту припайку П1,2 (рис.2.10,а) можна замінити на три кінематичні в’язі С1, С2 і С3, осі яких не паралельні та не перетинаються в одній точці (рис.2.10,б), або на шарнір Ш1,2 і кінематичну в’язь С1,2, що не проходить через центр шарніра Ш1,2 (рис.2.10, в).

У розрахункових схемах споруд, окрім розглянутих простих з’єднувальних пристроїв, використовуються також складні шарніри і складні припайки. Складним (кратним) вважається шарнір, що з’єднує більш ніж два диски. Такий шарнір може бути замінено на прості шарніри (кожний з яких поєднує конкретні два диски). Кількість простих шарнірів на одиницю менша від кількості з’єднуваних дисків. Наприклад, складний шарнір Шi на рис.2.11,а, що з’єднує чотири диски Д1, Д2, Д3 і Д4, еквівалентний трьом простим шарнірам. Аналогічно визначається складна (кратна) припайка. Так, на рис.2.11,б зображено складну припайку Пi, що еквівалентна до чотирьох простих припайок.

Отже будь-який з’єднувальний пристрій можна подати у вигляді певної кількості кінематичних в’язей, тому всі пристрої можна скорочено умовно називати в’язями, а сили у таких пристроях – реакціями в’язей.

Кількісний етап кінематичного аналізу

Як уже зазначалось, з погляду кінематичного аналізу кожна розрахункова схема споруди складається з сукупності об’єктів (дисків і матеріальних точок, або вузлів). Кожний з них має певну кількість ступенів вільності. Поєднувальні пристрої обмежують взаємні переміщення складових, забираючи певну кількість ступенів вільності.

22

При виконання першого етапу кінематичного аналізу визначається кількісна характеристика її змінюваності – ступінь геометричної змінюваності. Для цього необхідно підсумувати ступені вільності окремих складових елементів системи та відняти від цього числа суму ступенів вільності, які усувають всі з’єднання.

Виходячи з викладених вище кінематичних властивостей елементів розрахункових схем, можна записати модифікацію формули Чебишова для визначення ступеня геометричної змінюваності Г системи:

де: Д кількість простих дисків, включаючи опорний диск “землю”, якщо система прикріплена до неї; В кількість матеріальних точок, тобто вузлів, в яких з’єднуються лише кінематичні в’язі; П

кількість простих припайок; Ш кількість простих шарнірів; С кількість кінематичних в’язей; 3

(три) число ступенів вільності всієї плоскої розрахункової схеми як одного геометрично незмінюваного складеного диска в своїй площині. Складні шарніри та припайки враховуються як сукупність відповідної кількості простих з’єднань.

Ступінь геометричної змінюваності розрахункової схеми, обчислений за формулою Чебишова,

характеризує кінематичні властивості розрахункової схеми. Якщо Г 0, то розрахункова схема споруди є геометрично змінюваною. Вона суттєво змінюватиме свою геометрію навіть без урахування деформації своїх складових елементів. Для таких схем існують Г незалежних можливих узагальнених переміщень (швидкостей) елементів розрахункової схеми. Геометрично змінювані розрахункові схеми для розрахунку конструкцій та споруд використовуються лише в особливих випадках (наприклад, для підвісних конструкцій). У більшості випадків такий результат сигналізує про недостатню кількість з’єднувальних пристроїв і вимагає зміну конструктивних рішень.

Рівність Г = 0 свідчить, що виконується необхідна умова геометричної незмінюваності розра-

хункової схеми, а саме кількість наявних з’єднувальних пристроїв є мінімально необхідною і при правильному розташуванні з’єднувальних пристроїв можна забезпечити нерухомість як усіх складових елементів так і системи в цілому.

У випадках, коли Г < 0, система перенасичена з’єднаннями, тобто геометричну незмінюваність системи можна забезпечити і без деяких з них (умовно зайвих в’язей). Однак неправильне розміщення з’єднувальних пристроїв може привести до локальної геометричної змінюваності системи (між групою дисків розрахункової схеми кількість з’єднань надмірна, проте інші диски недостатньо розкріплені з’єднаннями).

Остаточно про геометричну незмінюваність розрахункової схеми при Г 0 можна стверджувати лише після виконання її якісного (структурного) аналізу.

23

Якісний (структурний) етап кінематичного аналізу

Якісний (структурний) аналіз розрахункової схеми полягає у визначенні послідовності та способів утворення системи зі складових елементів. З’єднання всієї системи або її фрагментів повинно виконуватись відповідно до способів правильного поєднання елементів у геометрично незмінювані системи – складені диски.

Далі розглянуто основні способи утворення найпростіших геометрично незмінюваних плоских систем при використанні мінімальної кількості з’єднувальних пристроїв. При їх поданні поруч з відповідною схемою поєднання простих дисків у складений використовуються умовні “формули”, що мають вигляд дробу, в чисельнику якого міститься перелік з’єднаних елементів, а у знаменни-

ку перелік з’єднувальних пристроїв. Після знака “ “ записується назва укрупненого складеного диска, який позначається великою латинською літерою D з нижнім індексом. Якщо з’єднання виконано за допомогою фіктивного шарніра, та в знаменнику подається найменування двох в’язей,

які утворюють цей шарнір, із символом “ “ між ними.

Приєднання шарнірного вузла до диска (спосіб “діади”). Шарнірний вузол В1 можна приєд-

нати до диска Д1 за допомогою двох простих кінематичних в’язей С1 і С2, які не лежать на одній прямій (рис.2.12,а,б).

Рис.2.12

Якщо в’язі С1 і С2 розташовані вздовж однієї прямої (рис.2.12,в), то вони не перешкоджають малому можливому переміщенню вузла В1 по напрямку, нормальному до кожної з них. При малому відхиленні вузла від проектного положення паралельність стержнів порушується, можливі переміщення, які допускаються кожним стержнем, не співпадають, тому система стає близькою до геометрично незмінюваної, але все ж вважається особливою і називається миттєво змінюваною.

З’єднання двох дисків. Зручно розглядати три способи приєднання одного диска до іншого, хоча використання відповідності між різними з’єднувальними пристроями дозволяє привести їх

24

Способом Шухова називається поєднання двох дисків Д1 і Д2 трьома кінематичними в’язями С1, С2 і С3, осі яких не перетинаються в одній точці і не паралельні між собою (рис.2.14,а).

Якщо осі всіх трьох в’язей С1, С2 і С3 водночас перетинатимуться в одній точці О (рис.2.14,б),

Рис. 2.14

то кожна із в’язей не усуватиме мале переміщення точок їх прикріплення до диска Д1 по напрямках нормальних стержню. Диск Д1 здійснюватиме обертальний рух навколо миттєвого центра швидкостей О і система буде миттєво змінюваною. Другим особливим випадком є паралельність осей трьох стержнів (рис.2.14,в) яке допускає миттєве або постійне (при певному розміщенні стержнів однакової довжини) поступальне зміщення одного диска відносно другого.

в’язями (рис.2.16,в).

25

Якщо три шарніри Ш1,2, Ш1,3 і Ш2,3, дійсні чи фіктивні, лежать на одній прямій (рис.2.16,г) або всі нескінченно віддалені, то кажуть, що система з трьох дисків Д1, Д2 і Д3 є миттєво або геометрично змінюваною.

Правила поєднання існують лише для двох або трьох дисків. Для розрахункових схем, які складається з більшої кількості об’єктів, необхідно визначити послідовність її утворення. На кожному етапі має бути утворена геометрично незмінювана структура за відомими викладеними правилами. Кожний етап утворення системи називається "поверхом" розрахункової схеми споруди.

Послідовність виконання кінематичного аналізу

Кінематичний аналіз розрахункової схеми виконується в три етапи.

Кількісний аналіз. На цьому етапі за допомогою формули Чебишова обчислюють ступінь гео-

метричної змінюваності розрахункової схеми споруди. Якщо одержано результат Г 0, то це свідчить про геометричну змінюваність розрахункової схеми внаслідок недостатньої кількості з’єднувальних пристроїв і другий етап аналізу можна не виконувати. Якщо Г 0, то можна зробити попередній висновок, що необхідна умова геометричної незмінюваності системи задовольняється, тобто система може бути геометрично незмінюваною – в’язей не менше мінімально необхідної кількості. В цьому випадку необхідно виконати наступний етап аналізу.

Якісний (структурний) аналіз полягає в дослідженні послідовності з’єднання елементів відповідно до викладених вище способів утворення найпростіших геометрично незмінюваних систем. Якщо встановлено, що якісь два чи три елементи поєднані правильно за одним із цих способів, такий фрагмент системи можна розглядати як новий укрупнений диск та використовувати сукупно з рештою елементів для утворення нових геометрично незмінюваних фрагментів. Цей процес потрібно продовжувати доти, поки не буде проаналізоване приєднання всіх елементів розрахункової схеми споруди. В статично невизначуваних системах (Г < 0) при такій побудові мають залишитись не використаними умовно зайві в’язі. В багатьох випадках набор умовно зайвих в’язей може бути вибраним неоднозначно – багато варіантів.

Остаточний висновок про геометричну незмінюваність, геометричну або миттєву змінюваність розрахункової схеми споруди. Якщо доведено правильне приєднання всіх елементів системи, вся розрахункова схема може вважатись геометрично незмінюваною. Якщо виявляється, що для з’єднання одних елементів використані зайві пристрої, а для інших їх бракує, всю розрахункову схему вважають геометрично змінюваною. Якщо ж хоча б одне з’єднання виконується як у винятку з якогось способу, що відповідає миттєвій змінюваності фрагмента, схема є миттєво змінюваною.

26

Таким чином, для геометричної незмінюваності плоскої розрахункової схеми споруди необхід-

не додержання двох умов: необхідна умова Г 0; достатня умова правильність утворення системи.

Кінематичний аналіз необхідно проводити в лаконічній формі, виконуючи детальні схеми, користуючись умовними позначеннями та формулами. Завершується аналіз розрахункової схеми обов’язковими детальними висновками.

Визначення сил взаємодії дисків

Найбільш поширеним способом визначення сил взаємодії дисків є використання методу перерізів, який полягає в тому, що від розрахункової моделі споруди уявним наскрізним перерізом відокремлюється якийсь його фрагмент (диск або група дисків). Вплив „розрізаних” перерізом з’єднань замінюються силами реакціями цих з’єднань. Таким чином, на відокремлений фрагмент діє система зовнішніх сил, яка складається з активного навантаження та реакціями в’язей.

Фрагмент споруди під дією системи зовнішніх сил відповідно до аксіоми статики розглядається як абсолютно тверде тіло. Тому до цієї системи сил можна застосувати умови її рівноваги, з яких визначаються невідомі реакції.

Для кожного із існуючих способів поєднання простих дисків у статично визначувану систему дисків існує алгоритм визначення сил у з’єднаннях, які забезпечують рівновагу кожного диска при дії зовнішнього силового навантаження.

Спосіб діад. При визначенні реакцій у двох в’язях (двох стержнях), що приєднують вузол до диска, вузол від диска „відокремлюється” замкненим перерізом 1-1. У кожному стержні діє реактивна сила вздовж його осі. Величини реакцій R1 і R2 у в’язях обчислюються з двох рівнянь рівноваги стосовно системи сил. При вдалому складанні рівнянь кожне з них буде мати одну невідому. Цього можна досягти проецируя сили, що діють на вузол, на дві осі, кожна з яких перпендикулярна одній із сил

Якщо два диски з’єднуються припайкою, то після „відокремлення” одного із дисків замкненим перерізом в точці припайки реакцію подають у вигляді двох взаємно перпендикулярних сил та реактивного моменту. Визначаються величини цих реакцій з трьох рівнянь рівноваги всіх сил, що діють на відокремлений диск: суми моментів усіх сил стосовно припайки та сума проекцій усіх сил на дві непаралельні осі координат.

У системах, утворених способом Полонсо, при відокремленні одного з дисків слід враховувати, крім активних сил, дію на диск реакції стержня, спрямованої вздовж стержня, та реакцію шарніра, лінія дії якої проходить під певним заздалегідь невідомим кутом через шарнір. Остання подається у вигляді двох складових – сил, лінії дії яких відомі (наприклад: горизонтальна і вертикальна), а величини невідомі. Пошук трьох невідомих величин реактивних сил виконується з трьох рі-

28

За формулою Чебишова (2.1):

Г 3 Д 2В 3П 2Ш С 3 3 3 2 0 3 0 2 0 6 3 9 9 0 ,

Другий етап створення розрахункової моделі (рис.2.18,б) також використовує метод Шухова

Рис.2.18

в) Висновки: Розрахункова модель статично визначувана і геометрично незмінювана. 2. Визначення сил взаємодії дисків.

З умов рівноваги диску DI, поєднаного із диском Д3 на останньому етапі збирання системи (рис.2.19), визначаються зусилля в стержнях С4, С5, С6.

29

Перевірка рівноваги:

3 МК Fi 3VA 4HB 6VC 3 32 4 12 6 24 144 144 0 .

і 1

Визначення реакцій у в’язях, використаних на першому етапі збирання моделі конструкції

(рис.2.20):

Рис. 2.20

Задача 2.

Дано: розрахункова модель (рис.2.21,а).

Необхідно: провести кінематичний аналіз та визначити сили взаємодії дисків.

Розвязування:

1. Кінематичний аналіз системи.

а) Кількісний аналіз. Система має: дисків – 3, вузлів – 0, припайок – 0, простих шарнірів – 1, кінематичних в’язей (стержнів) – 4 (рис.2.21,б).

За формулою Чебишова (2.1):

Г 3Д 2В 3П 2Ш С 3 3 3 2 0 3 0 2 1 4 3 9 9 0 ,