bmp

41

Зусилля в затяжці визначається з умов рівноваги диска DI (рис.2.46,а,б):

i 1

Відповідь: горизонтальний стержень затяжки розтягнутий зусиллям 10 кН.

2.3. Схеми задач для самостійного розв’язування

Для розрахункових моделей (рис.2.47,а,б – рис.2.51,а,б) виконати кінематичний аналіз і визначити реакції у в’язях. Якщо система статично невизначувана або геометрично змінювана, то попередньо перетворити її в статично визначувану і геометрично незмінювану.

Рис.2.47

42

Рис.2.48

Рис.2.49

Рис.2.50

Рис.2.51

3. Розрахунок плоских статично визначуваних ферм

3.1.Короткі теоретичні відомості

Суцільні балки і колони при збільшенні їх прогонів трансформувались у наскрізні решітчасті конструкції, які більш раціональні з точки зору використання матеріалу. При розрахунку таких конструкцій їх моделюють фермами. Фермами називають геометрично незмінювані розрахункові моделі, утворені із прямолінійних стержнів, які на кінцях поєднані у шарнірні вузли, та з навантаженням у вигляді вузлових зосереджених сил. В елементах такої розрахункової схеми (ненавантажених стержневих дисках з двома шарнірними поєднаннями до інших об’єктів), виходячи із першої аксіоми статики, виникає лише поздовжня сила. Така ідеалізація можлива завдяки великій гнучкості стержнів реальних решітчастих конструкцій та конструктивного вирішення передачі корисного навантаження у місця поєднання окремих стержнів. Прийнята ідеалізація значно спрощує розрахунок цього класу конструкцій без особливих втрат у достовірності отриманих результатів.

Розглянемо плоскі ферми, всі елементи яких належать одній площині, в якій діє навантаження на ферму. Просторові решітчасті конструкції також легко приводяться до плоских моделей. Основними елементами плоскої ферми (рис.3.1) є пояси – стержні, розміщені на зовнішньому контурі (CD – верхній та AB – нижній пояси), та решітка – сукупність стержнів, які поєднують пояси. Вертикальні стержні решітки називаються стійками (стиснуті) або підвісками (розтягнуті). Похилі стержні називають розкосами.

Рис.3.1

Відстань між осями опор ферми L називається її прогоном, а горизонтальна відстань між сусідніми вузлами a верхнього або нижнього поясів – панеллю ферми. Габаритний розмір ферми між поясами – її висота h.

Класифікуються ферми за геометрією поясів, за типом решітки, за способом спирання, за призначенням та за рівнем руху по фермі. На метод розрахунку ферми значний вплив має її місце в

44

класифікації за конструктивною схемою: балкова (прогонова або консольна), арочна (розпірна), та по типу решітки: трикутна, розкосна, напіврозкосна, багаторозкосна, ромбічна решітка тощо.

Розрахунок ферми полягає у визначенні поздовжніх зусиль в усіх її стержнях, які в подальшому будуть використовуватись у підборі (перевірці) поперечного перерізу її елементів. Існують аналітичні та графічні методи розрахунку плоских статично визначуваних ферм. Графічний метод менш точний, тому на ньому зупинятись не будемо.

Найпростіші статично визначувані ферми утворюються із шарнірного трикутника шляхом послідовного приєднання вузлів за допомогою двох непаралельних стержнів (метод діад). На останньому етапі створення розрахункової моделі побудований диск-ферма приєднується методами Полонсо або Шухова до диску „земля”. Для визначення внутрішніх зусиль в стержнях таких шарнір- но-стержневих моделей використовується метод перерізів. Залежно від виду перерізу розрізняють

метод наскрізних перерізів і метод вирізання вузлів.

За методом вирізання вузлів замкненим уявним перерізом може відділятись від ферми один вузол (рис.3.2,а), а за методом наскрізних перерізів довільний фрагмент ферми (рис.3.3,а). В першому випадку система сил, які діють на один вузол, є збіжною (рис.3.2,б), умова рівноваги якої записується двома рівняннями проекцій сил на координатні осі. З двох рівнянь можна визначити дві невідомі величини внутрішніх зусиль. На цьому базується алгоритм послідовного вирізання вузлів, при якому щоразу ”перерізаються” лише два стержня з невідомими зусиллями, значення яких визначаються способом проекцій. Простота обчислення величин внутрішніх зусиль в стержнях досягається почерговим проецируванням збіжної системи сил на осі, перпендикулярні кожній із двох невідомих (на рис.3.2,б осі x та y). Зусилля в інших „розрізаних” стержнях, що примикають до вирізаного вузла, мають бути відомими. За цим алгоритмом неможливо визначити внутрішнє зусилля в будь-якому стержні одразу – до нього потрібно „дійти”, послідовно вирізаючи ряд вузлів, починаючи з двостержневого (вузли Е, С, А на рис.3.2,б).

Рис.3.2

45

Рис.3.3

Уметоді наскрізних перерізів для виділеного фрагмента складаються рівняння моментів відносно моментних точок (точок Ріттера) або рівняння проекцій на координатні осі.

Моментні точки використовуються тоді, коли є змога розділити ферму на два диски, розрізавши при цьому три стержня, осі яких не перетинаються в одній точці (рис.3.3,а). З умов рівноваги одного із отриманих дисків можна визначити будь-яке із трьох невідомих зусиль у розрізаних стержнів. Для цього слід скористатись сумою моментів всіх сил, що діють на диск, відносно моментної точки (місця перетину осей двох інших розрізаних стержнів), як то S для визначення N2 на рис.3.3,б. Якщо ж моментна точка розташована на нескінченності, то потрібно спроектувати всі сили на вісь перпендикулярну до цих двох стержнів – вісь у для визначення N1 на рис.3.3,б .

Удеяких простих фермах для визначення внутрішнього зусилля у стержні (N1, рис.3.4) потрібно скористатись двома перерізами: наскрізним перерізом і вирізати вузол. Такий алгоритм назива-

ється способом сумісних перерізів.

Рис.3.4

Виходячи з алгоритму вирізання вузлів зусилля в деяких стержнях ферми є очевидними. На рис.3.5,а-д деякі стержні мають нульові значення зусиль. Такі стержні позначені штриховою лінією. Це твердження доводиться у кожному випадку проектуванням збіжної системи сил, що діють на вузол, на осі х та у. З тих же умов можна стверджувати, що зусилля в стержнях, вздовж яких діють навантаження (рис3.8,в,д), дорівнюють цьому навантаженню. Також окремим випадком рівноваги чотиристержневого не навантаженого вузла (рис.3.5,в) є рівність зусиль у стержнях, що належать окремим прямим.

46

Рис.3.5

Крім простих ферм, утворених методом діад, існують ферми більш складної структури. Вони можуть бути утворені шляхом перестановки стержнів у простих фермах, при якій не порушується геометрична незмінюваність. Такі ферми називаються перетвореними (рис.3.6, а). Зусилля в стержнях перетворених ферм визначаються способом заміни стержнів.

Рис.3.6

Цей спосіб полягає в тім, що не порушуючи геометричної незмінюваності розрахункової моделі, вона перестановкою одного стержня перетворюється на просту ферму. При цьому між вузлами, які в перетвореній фермі поєднував відкинутий стержень, підбирається величина сили х, яка разом із зовнішнім навантаженням на ферму повністю розвантажує новопоставлений стержень простої ферми (рис.3.6,б). Цей підбір реалізується за допомогою рівняння

(3.1)

де: NP – зусилля у новому стержні простої ферми від дій зовнішнього навантаження, N1 – зусилля в новому стержні від дії одиничної сили по напрямку сневідомих сил х. У такому стані зусилля у стержнях простої ферми будуть такі ж, як і у стержнях перетвореної ферми.

47

3.2. Приклади визначення внутрішніх зусиль у стержнях простих ферм

Задача 1.

Дано: розрахункова модель (рис. 3.7).

Рис.3.7

Необхідно: Визначити зусилля в стержнях ферми.

Розв’язування:

Розрахункова модель є плоскою простою статично визначуваною фермою, яку можна побудувати способом діад. Диск-ферма приєднується до „землі” методом Полонсо.

Визначення реактивних сил в опорних в’язях (рис.3.8):

Рис.3.8

Перевірка:

5 Fyi VA P P P VB 18 12 12 12 18 0.

i 1

48

За ознаками нульових стержнів нижній пояс та центральна стійка при заданному навантаження не працюють (на рис.3.9). Тут і в подальшому нульові стержні зображатимуться штриховими лініями.

Рис.3.9

В стержнях 1 та 2 поздовжні сили дорівнюють навантаженню вздовж них N1 18кН (знак „–”

свідчить, що стержень стиснутий), N2 12кН . Для розрахунку зусиль в інших стержнях почергово вирізаються вузли І та ІІ, з рівноваги яких обчислюються по дві невідові величини (рис.3.10). Кути α та β визначаються з геометрії стержневої конструкції

Рис.3.10

Вузол I

50

Визначення реактивних сил в опорних в’язях (рис.3.12):

За ознаками виявляються стержні із нульовими зусиллями (позначені на рис.3.13 штриховими лініями). Для знаходження величин внутрішніх зусиль у зазначених стержнях виконано два уявних перерізи ферми (рис.3.13) і розглянута умова рівноваги лівих частин ферми від дії зовнішніх активних і невідомих реактивних сил.

Рис.3.13

З умов рівноваги частини ферми, відрізаної перерізом а-а (рис.3.14,а)