Физика / 4.___________ ______

Порівнюючи одержаний вираз для N з експериментальним N= -D dndx S,

маємо для коефіцієнта дифузії значення

D = 13λV .

§ 90. Теплопровідність

Якщо дві частини середовища, або два різні середовища, що контактують між собою, мають різні температури, то між ними виникає тепловий потік від тіла з більшою температурою до тіла з меншою температурою.

Таблица. Коефіцієнт теплопровідності χ деяких речовин

Для визначення коефіцієнта теплопровідності χ, розглянемо одновимірний рух частинок, як показано на Мал.43. Концентрація частинок,

що рухаються вздовж осі ОХ nx , температура Т є функція х і вона дорівнює T= f(x). Енергія частинки ε = 2i kT .

Покладемо, що концентрація частинок є сталою. В зустрічних напрямках по осі ОХ через поверхню S ОХ, що має координату х, за час dt пройде

де ∆х задає координату точок до поверхні S, починаючи з яких, частинки без співударяння пройдуть через S. Такими є точки x±∆x, де ∆х = λ.

Теплова енергія, що переноситься частинками в зустрічних напрямках осі ОХ дорівнює

dQ+ = dN ε+ = 121 VSn ik [f (x) − f '(x)∆x]dt

dQ− = dN ε− = 121 VSn ik [f (x) + f '(x)∆x]dt

Результуюча теплова енергія, що переноситься в напрямкові зменшення температури через поверхню S

dq = dQ+ − dQ− = −13 λV dTdx 2i kn Sdt

Величина ikn/2 = сVρ1, де сV питома теплоємність газу при сталому об'ємі, а ρ його густина. Тепер

dq = −13 λVcVρ dTdx Sdt

де m0-маса молекули.

χ = 13 λVcVρ.

Коефіцієнт теплопровідності χ можна записати через коефіцієнт

дифузії D

χ = DcVρ.

§ 91. Внутрішнє тертя

Явище внутрішнього тертя (в'язкості) полягає у вирівнюванні швидкості напрямленого руху суміжних шарів газу або рідини, що рухаються паралельно один одному з різними швидкостями u, шляхом теплового перенесення частинками направленого імпульсу з одного шару в інший. Таке явище можна описати силами внутрішнього тертя, що виникають між

шарами.

Для визначення коефіцієнта в'язкості η, розглянемо одновимірний рух частинок, як показано на Мал.44. Концентрація частинок, що рухаються вздовж осі ОХn, а швидкість напрямленого руху u є функція х і вона дорівнює u=f(x).

В зустрічних напрямках по осі ОХ через плоску поверхню S ОХ, що має координату х, за час dt пройде

р+ = mu(x - ∆x) = mf(x - ∆x),

ачастинки, що рухаються назустріч

p - = mu(x + ∆x) = mf(x + ∆x).

Значення швидкості u потрібно взяти в тій точці, починаючи з якої частинки без співударяння пройдуть через S. Такими є точки x±∆x із ∆х = λ. Імпульс, що переноситься частинками в зустрічних напрямках осі ОХ дорівнює

За другим законом Ньютона F = dPdt де F сила, що діє на поверхню S

F = −13 λVρ dudx S,

де ρ = mn густина газу. Порівнюючи одержаний вираз із законом Ньютона F = - ηdudx S, знайдемо коефіцієнт в'язкості у вигляді

η= 13 λVρ.

Коефіцієнт в'язкості η можна виразити через коефіцієнт дифузії

η= Dρ. Величина ν = ηρ = 13 λV = D називається кінематичною в'язкістю, яка

чисельно дорівнює коефіцієнтові дифузії. Між коефіцієнтами переносу D, χ та η можна встановити взаємозв'язок:

χ= Dρcv = ηcv .

§92. Стаціонарна течія рідини та газу в циліндрі

1. Знайдемо розподіл швидкості рідини u у циліндрі при стаціонарній течії. Нехай рідина з в’язкістю η протікає в циліндрі радіуса R і довжини L при перепаді тиску на кінцях циліндра ∆P. Виділимо циліндричну трубку течії радіуса r співвісну циліндру. Рух рідини виділеної трубки току відбувається за рахунок дії сили перепаду тиску на

бічна поверхня циліндра трубки току. При стаціонарній течії рідини сили тиску та опору врівноважуються

F=Fоп і тоді

∆P πr2 = −ηdudr 2πrL .

З цього рівняння одержимо диференціальне рівняння для визначення

Сталу С визначимо з умови, що швидкість току рідини при стінках циліндра, коли r=R дорівнює 0, тобто

C = 4∆ηPL R2.

Остаточно, радіальна залежність швидкості току рідини буде такою u(r) = 4∆ηPL (R2 − r2 ).

2. Формула Пуазейля. Обчислимо об'єм рідини, що витікає через циліндр за час dt. Для цього запишемо об'єм рідини dV, що протікає за dt через основу радіального кільця Sk = 2πrdr при трубці току шириною dr

Інтегруючи останній вираз по r від 0 до R, одержимо

V = 8∆ηPL πR4dt .

Ми одержали відому формулу Пуазейля, за допомогою якої можна визначити об'ємну витрату V газу або рідини з в'язкістю η, що протікає через трубку радіуса R, довжини L при перепаді тисків ∆P на її кінцях за час dt.

За експериментально визначеною величиною витрати V можна знайти величину коефіцієнта в'язкості газу чи рідини

η= 8∆VLP πR 4 dt .

3.Формула Стокса. Наведемо без доведення величину сили опору F кульці радіуса r, що рухається в рідині зі сталою швидкістю u

F = 4πηru .

Ця формула називається формулою Стокса.