Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет технологий и дизайна

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика / 3._____________

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2016

Размер:

362 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

В.М.Клименко. Термодинаміка

TVγ−1 =const , PT

1−γ

= const .

(5)

Робота розширення газу від V1

до V2

при адіабатичному процесі

може бути одержана з першого начала δQ=dU+δA=0

δA=-dU.

(6)

В інших виразах роботу можна знайти прямим обчисленням

νR∆T A = ∆(PV) .

A = ∫2PdV = −∆U

A = -

(7)

1 − γ

Таблиця 3. Характеристики ізопроцесів.

Назва

Рівняння

Зв'язок між

Робота в процесі

Тепло,

процесу

параметрами

передане в

стану

процесі

Ізохорний

V = const

= const

δA = 0, A = 0

Q = CVdT,

Q=CV(T2 - T1)

Ізобарний

p = const

= const

A = pdV,

Q = CpdT,

A = p(V2 - V1)

Q=Cp(T2 - T1)

Ізотермічний

T = const

pV = const

A = pdV,

Q =

A = νRTln(

Q = A

A = νRTln(

Адіабатний

= const

Q = 0

A = pdV = - dU

Q = 0,

A = - ∆U = CV(T1 - T2)

Q = 0

PT1−γ = const

A =

P1V1 −P2V2

(γ- 1)

=const

γ −1

νRT

γ −1

A =

[1−(

) γ ]

γ −1

A =

P1V1

[1−(

)1−γ ]

γ −1

§ 74. Теплоємність ідеального газу

Теплоємністю С тіла називається відношення елементарного тепла δQ, переданого тілу, до відповідної величини зміни температури тіла dT

C =	δQ	=	dU + δA	(1)
	dT		dT

В.М.Клименко. Термодинаміка 96

C ==	i	νR + P dV	(2)

2		dT

і вона чисельно дорівнює теплоті, необхідній для збільшення температури

тіла на 1К. Питома теплоємність с теплоємність одиниці маси речовини
с = С/m, а молярна c =µc = C .
	ν
Теплоємність при сталому об'ємі позначається як CV							(система не
виконує роботи pdV=0) і може бути обчислена з (2)
CV =			i	νR .	(3)
CV =				νR .	(3)
2
Внутрішня енергія газу можна записати через CV
U =	i	νRT =CVT .			(4)
U =		νRT =CVT .			(4)
2
Теплоємність при сталому тискові позначається як CP							і може бути
обчислена з (2) при врахуванні (3) так
CP =CV + P dV = CV +						d(PV)
CP =CV + P dV = CV +						dT
				dT		dT

CP =CV + νR .

Ми знайшли d(pV) із рівняння Клапейрона-Менделєєва, врахувавши, що

P=const,

d(PV)

= νR.

Знайдемо відношення CP до CV

CV + νR

νR + νR

i + 2

(5)

νR

З (5) видно, що стала адіабати γ може бути представлена через відношення теплоємностей при сталому тискові і при сталому об'ємі так

γ= i + 2 = CP .

iCV

§75. Теплові двигуни та холодильні машини

Робоче тіло термодинамічна система, що здійснює процес і призначена для перетворення одної форми енергії теплоти або роботи в іншу. У тепловому двигуні робоче тіло, одержавши енергію у формі тепла, частину її передає зовні у формі роботи.

Нагрівачем називається термодинамічна система, що передає іншій

В.М.Клименко. Термодинаміка 97

термодинамічній системі енергію у формі тепла Q1.

Холодильником називається термодинамічна система, що одержує від досліджуваної системи енергію у формі тепла

Q2 .

Робота проти зовнішнього тиску, що здійснюється системою в оборотному круговому процесі, вимірюється площею, обмеженою кривою цього процесу на діаграмі P-

V. Дійсно,	на	шляху від V1 до V2 система
V
виконує роботу A12 = ∫2PdV , а на шляху від V2 до V1 робота виконується із
V1
	V
зовні над системою і вона дорівнює A21 = ∫1PdV . В підсумку робота системи
за цикл дорівнює	V2
за цикл дорівнює
V	V
A = A12 + A21 = ∫2PdV + ∫1PdV = ∫ PdV .
V1	V2	1−2−1

Прямий цикл круговий процес, у якому система виконує додатну роботу А>0, обхід замкненої кривої проводиться за годинниковою стрілкою. У противному випадку цикл називається зворотнім.

За визначенням, термічним коефіцієнтом корисної дії (ККД)

нагрівача ηt називається відношення теплового еквівалента роботи A, яку виконує робоче тіло в прямому круговому процесі, до суми всього тепла Q1, яке при цьому передається робочому тілу нагрівачем

ηt = A = Q1 − Q2 .

Q1 Q1

ККД холодильної установки ε дорівнює відношенню кількості тепла Q2, забраного від охолоджуваного тіла, до теплового еквівалента роботи А, що витрачається при цьому

ηхол =	Q2	=	Q2	.
	A
			Q1 − Q2

Холодильна установка працює у зворотному напрямі до теплової машини.

§ 76. Цикл Карно

Цикл Карно є прямий оборотний круговий процес, що складається з двох оборотних ізотермічних процесів 1 1' із

В.М.Клименко. Термодинаміка 98

температурою Т1 i 2 - 2' із температурою Т2 та двох оборотних адіабатних процесів 1' 2 i 2 1. У процесі 1 1' робоче тіло одержує від нагрівача тепло Q1, а в процесі 2 2' віддає холодильнику тепло Q2 . В циклі Карно

тепловий двигун може виконати роботу, еквівалентну лише частині одержаного від нагрівача тепла, а решту тепла витрачає для повернення у вихідний стан 1 із ненульовою роботою, шляхом передачі тепла холодильнику.

Теорема Карно: термічний ККД ηt оборотного циклу Карно не

залежить від природи робочого тіла і є функцією лише абсолютних температур нагрівача T1 та холодильника T2

ηt =	T1 − T2	.	(1)

	T1

Щоб довести цю теорему, розглянемо процес теплопередачі в циклі. На дільниці 1 1' процес ізотермічний з розширенням від V1 до V1' і за першим началом для ізотермічного процесу A11' =Q1 . З іншого боку, робота системи

на цій дільниці

V1'

11'

=νRT ln

= Q .

(2)

На дільниці 1' 2 процес адіабатичний з розширенням від V1' до V2

без теплообміну,

тобто

Q1'2

=0 . Стан 1'

та

стан 2 мають об'єми та

температури, що зв'язані рівнянням адіабати

T Vγ−1

=T V

γ−1 ,

(3)

2 2'

а робота, яку виконує газ при роширенні знайдемо з рівняння A=(U2-U1)

1'2

νR(T

− T )

(4)

На дільниці 2 - 2' процес ізотермічний із зменшенням об'єму від V2 до

V2’' і запершим началом A22' =Q2 = −| Q2 |. Робота системи на цій дільниці

22'

=νRT ln

V2'

= Q

= −| Q

| .

(5)

На дільниці 2' 1 процес адіабатичний із зменшенням об'єму від V2' до V1 без теплообміну, тобто Q2'1=0 . Стан 2' та стан 1 мають об'єми та

температури, що зв'язані рівнянням адіабати
T Vγ−1	=T Vγ−1	(6)
1 1	2 2'

а робота, яку виконує газ у цьому процесі знайдемо з рівняння A=(U1-U2) A2'1 = 2i νR(T1 − T2 ) = −A1'2 . (7)

З рівнянь (3) та (6) одержимо

В.М.Клименко. Термодинаміка 99

γ−1

V1'

(8)

Кількість теплоти, одержаної системою в циклі, зважаючи на (4) та (7) є

Q =Q1 + Q1'2 + Q2 + Q2'1 =Q1 + Q2 .					(9)
Робота, виконана системою, дорівнює
А= νRT1ln(	V1'	) - νRT2ln(	V2	),	(10)
	V		V

1			2'
тому що
A = A11'		+ A1'2 + A22' + A2'1

A =νRT1 ln V1' V1

+	i	νR(T	− T ) + νRT ln		V2'

2		2	1	2	V2

A =νRT1 ln V1' + νRT2 ln V2' V1 V2

A =νR(T1 −T2 )ln V1'

+ 2i νR(T1 −T2 )

(11)

Коефіцієнт корисної дії теплової машини за цикл з урахуванням (11) та (2) визначимо так

η	t	=	A	=[νR(T − T )ln				V1'	]/[νRT ln	V1'	]
η		=		=[νR(T − T )ln					]/[νRT ln		]
			1			2		V1	1	V1
			Q1					V1		V1
				ηt =	T1	−T2	.		(12)
				ηt =			.		(12)
						T1
Термічний		коефіцієнт				корисної			дії будь-якого необоротного

кругового процесу ηt,н завжди менше коефіцієнта корисної дії ηt

оборотного кругового процесу, при однакових температурах нагрівача й холодильника.

Для оборотного циклу величина ηхол залежить лише від співвідношення температур нагрівача та холодипьника. Для зворотного

циклу Карно ηхол = T1 T−2T2 і є максимальним по відношенню до циклу з необоротними процесами.

§ 77. Ентропія

1. Ентропія S системи за Клаузіусом є функція стану системи, диференціал якої в елементарному оборотному процесі дорівнює відношенню нескінченно малої кількості тепла δQ, переданого системі, до її

В.М.Клименко. Термодинаміка

100

абсолютної температури

dS =

δQ

(1)

Для ідеального газу

νRT

δA = PdV = νRT dV

δQ = dU + δA, dU = νCVdT, P =

тому

+ R

dS = ν CV

dS = ν(CVdln T + Rd ln V),

(2)

а зважаючи на те що

PV = νRT, lnP + lnV = ln(νR) + ln T

dlnV = dln T - dlnP, CP = CV + R

маємо

− R

dS = ν CP

dS = ν(CPd lnT − Rd ln P) .

(3)

Аналогічно можна одержати ще й такий вираз для ентропії

dS = ν C

+ C

P V

dS = ν(CPd ln V + CVdln P).

(4)

Для одноатомних газів CP та CV не залежать від Т і після інтегрування (2-4) одержимо три вирази для ентропії

S = ν(C

lnT + R ln V)

+ S

, ∆S = ν C

+ Rln

S = ν(C

lnT − R ln P) + S

, ∆S = ν C

− Rln

S = ν(C

ln V + C

ln P) + S

, ∆S = ν C

+ C

де S0 − стала інтегрування.

Фізичний зміст

має

приріст

ентропії у

термодинамічному процесі ∆S = S − S0 ∆S, а тому величина S0

є не суттєвою.

Для адіабатичного оборотного процесу

δQ=0, dS=0, S=const

і тому цей процес називають ще й ізоентропійним.

При ізотермічному оборотному процесі T = const і

∆S = νR ln

= νR ln

В.М.Клименко. Термодинаміка

101

при ізобаричному процесі P =const і

∆S =νCP ln

=νCP ln

при ізохоричному процесі V =const і

∆S =νCV ln

=νCV ln

Якщо в циклі Карно записати роботу через теплоту, то для коефіцієнта

корисної дії одержимо такі співвідношення

ηt =

Q1 + Q2

T1 − T2

з яких випливає, що за цикл

Q1 + Q2 = 0 . T1 T2

Останній вираз визначає приведену теплоту циклу Карно. Тепер для ентропії за цикл маємо

= Q

= ∫

δQ

∆S

= ∫

+ ∫

і остаточно

∆S =

T =

∫ δQ + 0 +

∫ δQ + 0 =

1 1

∆S = 0 .

Якщо цикл відбувається за необоротними процесами 1-1' i 2-2', то не вся теплота переходить у роботу i Q1+Q2>А в циклі Карно, тобто

Q1 + Q2 > A = T1 − T2 ,

Q1 Q1 T1

∆S = Q1 + Q2 >0 .

T1 T2

Взагальному випадкові маємо

=∆S = Q1 + Q2 ≥ 0 , T1 T2

де знак рівності відноситься до циклу з оборотними процесами, а знак >0 відноситься до циклу з необоротних процесів. Для довільного елементарного термодинамічного процесу

dS ≥ δQ / T .

2. Ентропія за Больцманом. Поняття ентропії з молекулярно-кінетичної точки зору розглянув Больцман. Увівши термодинамічну ймовірність макроскопічного стану системи Ω, Больцман визначив ентропію системи так

S = k lnΩ +S0 ,

В.М.Клименко. Термодинаміка 102

де S0 - деяка константа, k - стала Больцмана..

Термодинамічною ймовірністю Ω називається число можливих мікростанів системи, які створюють даний макростан, тобто Ω показує скількома способами на мікрорівні може бути реалізовано заданий кількісний розподіл частинок системи, наприклад, по об'єму та швидкостям, причому Ω≥1. Розглянемо це визначення докладніше на такому прикладі. Нехай система складається з 4 пронумерованих частинок. Для визначення макростану системи, зокрема, розташування частинок у її об'ємі V, поділеному навпіл, задамо кількість частинок у лівій і правій його половинках, як це показано в таблиці. Кожний з макростанів може реалізуватися певним розташуванням пронумерованих частинок. Кількість цих реалізацій і є термодинамічною ймовірністю. З таблиці видно, що Ω зростає при переході системи до рівноважного стану (однакове число частинок в обох половинках) і має максимум у ньому. Це означає, що ентропія системи є сталою для рівноважних процесів і зростає для всіх інших, тобто для довільного елементарного термодинамічного процесу

			dS ≥	δQ	.
			dS ≥		.
				T
	В загальному випадку з визначення ентропії за Больцманом, можна
одержати усі співвідношення, які випливають із визначення ентропії за
Клаузіусом.			Таблиця 4. Визначення термодинамічної ймовірності Ω
			Таблиця 4. Визначення термодинамічної ймовірності Ω
№ п/п		Макростан				Мікростан		Ω
	(указує кількість частинок)			(указує, де і які саме частинки за
				номерами там знаходяться)
	ліворуч		праворуч	ліворуч			праворуч
1	0		4	-			1,2,3,4	1
2	1		3	1			2,3,4
				2			1,3,4	4
				3			1,2,4
				4			1,2,3
3	2		2	1,2			3,4
				1,3			2,4
				1,4			2,3
				3,4			1,2	6
				2,4			1,3
				2,3			1,4
4	3		1	2,3,4			1
				1,3,4			2	4
				1,2,4			3
				1,2,3			4
5	4		0	1,2,3,4			-	1

§ 78. Другий закон (начало) термодинаміки

В.М.Клименко. Термодинаміка 103

Другий закон термодинаміки можна сформулювати такими еквівалентними положеннями:

•неможливо створити вічний двигун другого роду, тобто двигун, що отримує тепло від нагрівача і перетворює його у рівну кількість механічної енергії,

•неможливий процес, єдиним результатом якого є перетворення тепла, одержаного від нагрівача, в еквівалентну йому роботу.

•неможливий процес, єдиним результатом якого є передача енергії у формі тепла від холодного тіла до гарячого,

•неможливий круговий процес, єдиним результатом якого було б виконання роботи за рахунок охолодження робочого тіла,

•в замкненій системі ентропія може лише зростати або залишаться сталою.

Основне співвідношення термодинаміки, що об'єднує в собі перший

ідругий закони термодинаміки має вид

TdS ≥ dU + δA,

де знак рівності відноситься до оборотного процесу.

§ 79. Третій закон (начало) термодинаміки

За гіпотезою Планка при абсолютному нулі температури внаслідок квантового характеру процесів, які відбуваються в довільній системі при низьких температурах за умов її стійкої рівноваги, є тільки один мікростан, тотожній макростанові системи і Ω=1. В цьому випадку початкова ентропія

S0=klnΩ = 0.

Третій закон термодинаміки за Нернстом: в довільному ізотермічному процесі, який проведено при абсолютному нулі температури, приріст ентропії ∆ST = 0 = 0, незалежно від можливої зміни

будь - яких інших параметрів системи (тиск, об'єм і т. п. ).

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Физика

#
05.02.2016487 Кб1511._____ ______.pdf
#
05.02.2016780 Кб1412.________ _______ ______ __ _________ ________.pdf
#
05.02.2016372 Кб1313.________ _______ ______.pdf
#
05.02.2016899 Кб1314.________ ______ ________ ____.pdf
#
05.02.2016437 Кб172._________ __ _____.pdf
#
05.02.2016362 Кб143._____________.pdf
#
05.02.2016304 Кб144.___________ ______.pdf
#
05.02.2016312 Кб145._______ __________.pdf
#
05.02.2016584 Кб276.______________.pdf
#
05.02.2016327 Кб167._________ _____.pdf
#
05.02.2016555 Кб148._________.pdf