Завдання для самостійної роботи

1. Знайти повний диференціал функцій:

а) ;

б) ;

в) .

2. Обчислити наближено .

3. Знайти , якщо ,,.

4. Знайти , якщо ,.

5. Знайти і, якщо ,,.

2.3. Частинні похідні вищих порядків. Похідні неявно заданих функцій

Якщо задано функцію і обчислені її частинні похідніі, то вони також є функціями незалежних зміннихі, а тому від кожної із них можна обчислити похідні як по зміннійтак і по змінній.

Частинні похідні від частинних похідних першого порядку називаються частинними похідними другого порядку. Вони позначаються:

, ,

, .

Аналогічно означаються і позначаються частинні похідні вищих порядків.

Частинні похідні, які відмінні одна від одної лише порядком диференціювання, називаються мішаними похідними. Вони є рівними між собою при умові їх неперервності, тобто .

Похідна від неявної функції, яку задано рівнянням може бути обчислена за формулою:

. (2.7)

Частинні похідні неявної функції , заданої рівнянням, можуть бути обчисленні за формулами:

, .(2.8)

Зразки розв’язування задач

1. Знайти частинні похідні другого порядку:

а) .

Знайдемо перші похідні:

, .

Знайдемо другі похідні:

, ,

, .

б) .

, ;

, ,

, .

в) .

, ;

,

,

.

2. Перевірити, що для функції.

Знаходимо перші похідні:

, .

Обчислимо мішані похідні другого порядку:

,

.

Як бачимо, .

3. Перевірити, що функція задовольняє рівняння.

Знайдемо частинні похідні першого та другого порядку, які є в даному рівнянні:

, ;

.

Підставляємо знайдені похідні в наше рівняння:

або .

Отримаємо: , а саме.

Ми отримали тотожність, тому функція задовольняє дане рівняння.

4. Знайти похідну від функцій, заданих неявно:

а) .

.

Знайдемо частинні похідні: ,.

За формулою (2.7) маємо: .

б) .

.

, .

За формулою (2.7) маємо: .

в) .

.

Тоді ,.

Отримаємо: .

5. Знайти тавід неявно заданих функцій:

а) .

.

Обчислимо ,,.

Зауважимо, що у кожному випадку беручи похідну по одній змінній, дві другі вважаються сталими. За формулами (2.8) маємо: ,.

б) .

.

Обчислимо ,,.

Тоді будемо мати: ,

.

6. . Знайтитау точці.

.

Знайдемо ,,.

За формулами (2.8):

, тоді .

, тоді .

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти частинні похідні другого порядку:

а) ;

б) ;

в) .

2. Показати, що функція задовольняє рівняння.

3. . Знайти,.

4. Знайти від функцій, заданих неявно:

а) ; б).

5. Знайти та, якщо.