Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

Покладемо ,. Тоді,.

Використовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:

Надалі розв’язання прикладів наводяться в конспективному вигляді: після умови вказано вирази ,і,.

2.

3.

Інтегрування частинами дозволило знизити на одиницю степінь . Щоб знайти, застосуємо даний метод ще раз.

4.

5.

6.

Складається враження, що інтегрування частинами не призвело до цілі, інтеграл не спростився. Проте спробуємо ще раз застосувати цей метод до отриманого інтеграла.

Нехай .

Застосувавши двічі інтегрування частинами, дістали рівняння, яке містить шуканий інтеграл у якості невідомого. Ми отримали, що

II.

З цього рівняння знаходимо I:

I+I,I

7.

Позначивши , маємо рівняння:

I, звідки ,.

8.

Ще раз інтегруємо частинами:

Знову прийшли до вихідного інтегралу Знайдемо його з рівняння:

.

Маємо: , звідки

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. . Вказівка:прийняти , .

3.4. Інтегрування раціональних функцій

До раціональних функцій належать цілі та дробові раціональні функції. Інтегрування цілих раціональних функцій (многочленів) не складне. Розглянемо дробово-раціональну функцію (раціональний дріб), яка являє собою відношення двох многочленів степенів ііз коефіцієнтамитавідповідно:

(3.1)

Раціональний дріб називають правильним, якщо степінь чисельника менше від степеня знаменника<. У противному разі, а саме при , дріб називаютьнеправильним.

Якщо раціональний дріб (3.1) неправильний, то діленням многочлена найого можна подати у вигляді суми цілої раціональної функції та правильного раціонального дробу, тобто

,

де многочлен - частка від ділення, многочлен- остача від ділення.

Отже, щоб проінтегрувати правильний раціональний дріб , треба:

1) розкласти многочлен на лінійні множники, які відповідають його дійсним кореням, та квадратні множники, які відповідають його комплексним кореням, а саме, де- дійсні числа,- цілі додатні числа,--кратний дійсний корень многочлена, а квадратний тричленне має дійсних коренів<;

2) розкласти дріб на елементарні дроби таким чином:

(3.2)

,

де - невизначені коефіцієнти (деякі дійсні числа).

Для їх знаходження найчастіше користуються так званим методом невизначених коефіцієнтів. Потрібно звести праву частину рівності (3.2) до спільного знаменника, який дорівнює многочлену . В результаті дістанемо два рівні дроби з однаковими знаменниками, а їх чисельниками є тотожні многочлени. Порівнюючи далі коефіцієнти при однакових степеняхлівої та правої частин тотожності, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначаються шукані невідомі,…,

.

Існує ще один спосіб знаходження невизначених коефіцієнтів. У рівності тотожніх многочленів чисельників лівого та правого дробу розкладання (3.2) слід надавати змінній довільні числові значення стільки разів, скільки коефіцієнтів потрібно визначити. При цьому обчислення значно спрощуються, якщо замість змінноїбрати значення коренів лінійних множників;

3) тепер залишається обчислити як суму інтегралів від знайдених елементарних дробів. При цьому матимемо справу із наступними інтегралами:

I. ,.

II. , .

III. , .

IV. ,

де ,, в якому, визначається- кратним застосуванням рекурентної формули

.