- •З м і с т
- •Розділ 1 застосування диференціального числення для дослідження функцій
- •1.1. Зростання і спадання функції
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.2. Локальний екстремум функції
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.3. Опуклість і угнутість кривих. Точки перегину
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.4. Асимптоти кривих
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •1.5. Схема дослідження функції та побудова її графіка
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розділ 2
- •2.1. Означення та область визначення. Частинні похідні першого порядку
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •2.2. Повний диференціал функції. Похідні складених функцій
- •(2.6) Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •2.3. Частинні похідні вищих порядків. Похідні неявно заданих функцій
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •2.4. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні. Екстремум функції двох змінних
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розділ 3 невизначений інтеграл
- •3.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Метод безпосереднього інтегрування
- •Таблиця основних інтегралів
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Зразки розв’язування задач
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •3.5. Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •3.6. Інтегрування деяких іраціональних функцій
- •Зразки розв’язування задач
- •Завдання для самостійної роботи
- •Вища математика
Завдання для самостійної роботи
Обчислити інтеграли:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. .
3.6. Інтегрування деяких іраціональних функцій
Насамперед зауважимо, що інтеграл від іраціональної функції не завжди обчислюється в скінченному вигляді. Розглянемо деякі типи таких інтегралів, які за допомогою певної підстановки можна звести до інтеграла від раціональної функції, а отже, знайти його.
1) Інтеграли виду , де>,- натуральні числа, обчислюються за допомогою підстановки, де- спільний знаменник дробів.
2) Інтеграли виду ,
де - дійсні числа, причому(бо у противному випадку відношенняє сталим і підінтегральна функція в цьому разі є раціональною функцією від) за допомогою підстановкизводяться до інтегралів від раціональної функції змінної.
3) а) Інтеграли виду вилученням повного квадрату під радикалом зводяться до табличних інтегралів:
, ;
б) інтеграли виду за допомогою підстановкизводяться до інтегралів попереднього виду.
4) Для перелічених нижче видів іраціональностей використовуються тригонометричні підстановки, що дозволяють прийти до інтегралів від тригонометричних функцій і.
Розглянемо випадки:
а) для інтегралів виду застосовується підстановкаабо;
б) для інтегралів виду застосовується підстановкаабо;
в) для інтегралів виду підстановкаабодає змогу позбутися іраціональності.
Зразки розв’язування задач
Обчислити інтеграли.
1. .
Найменшим спільним кратним показників коренів є . Виконаємо підстановку, , , .
.
Отримали інтеграл від неправильного раціонального дробу. Виділивши цілу частину дробу і виконавши почленне ділення в отриманому правильному дробу, матимемо:
.
Повернемось до початкової змінної, враховуючи що . Тоді.
2. .
Для інтегрування отриманого раціонального дробу запишемо його у вигляді суми найпростіших дробів:
.
Невизначені коефіцієнти знайдемо порівнянням коефіцієнтів при однакових степеняхв лівій та правій частинах рівності:.Отримаємо: .
Шуканий інтеграл матиме вигляд:
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7. .
Введемо підстановку . Тоді, , , , звідки . Знайдемо: .
Після підстановки отримаємо: . Інтеграл може бути обчислений розкладанням дробу на суму найпростіших дробів. Розглянемо інший спосіб. Проінтегруємо частинами:
.
Повернувшись до початкової змінної, маємо:
.
8. .
Виділимо під коренем повний квадрат, звівши тим самим інтеграл до табличного:
.
9. .
Перетворимо підкореневий вираз:
.
Тоді інтеграл має вигляд:
.
10. .
Використаємо підстановку ,.
.
Внесемо в знаменнику під корінь і отримаємо:
.
11. .
Обчислимо даний інтеграл за допомогою заміни . Тоді,,.
Маємо:.
Обчислимо отриманий інтеграл, використовуючи формулу пониження степеня:.
Отримаємо:
.
Зауваження. У перетвореннях використовуються тотожності:
, .
12.
.
Враховуючи, що , маємо далі:
.
13.
.
Зауваження. У перетвореннях використовуються тотожності:
, .