Завдання для самостійної роботи

Дослідити функції та побудувати їхні графіки:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Розділ 2

ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

2.1. Означення та область визначення. Частинні похідні першого порядку

Нехай - множина упорядкованих пар чисел. Якщо кожній парі чиселза певним законом відповідає число, то кажуть, що на множинівизначено функціювід двох зміннихіі записують.

Змінну називаютьзалежною змінною (функцією), а змінні та-незалежними змінними (аргументами).

Множину пар чисел , для яких функціявизначена, називаютьобластю визначення функції і позначають . Множину значеньпозначають.

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел відповідає в прямокутній системі координатєдина точкаплощини, і, навпаки, кожній точціплощини відповідає єдина упорядкована пара чисел, то функцію, де, можна розглядати як функцію точкиі замістьписати. Областю визначення функції у цьому випадку є деяка множина точок площини.

Значення функції в точціпозначаютьабо, або.

Величина називаєтьсячастинним приростом функції по змінній.

Величина називаєтьсячастинним приростом функції по змінній.

Якщо існує границя , то вона називаєтьсячастинною похідною функції по зміннійі позначається

.

Якщо існує границя , то вона називаєтьсячастинною похідною функції по зміннійі позначається

.

При обчисленні частинних похідних функції двох змінних користуються вже відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної. Слід лише пам’ятати, що при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції змінної, вважаючи зміннусталою. При знаходженні похідноїсталою вважається змінна.

Зразки розв’язування задач

1. Знайти та зобразити області визначення функцій двох змінних:

а) .

Функція не визначена лише тоді, коли . Геометрично це означає, що область визначення функції складається із двох півплощин, одна з яких лежить вище, а друга нижче прямої(рис. 2.1)

б) .

Функція визначена при умові , тобто. Рівняннявизначає в площиніколо з центром в початку координат і радіусом. Функція визначена в точках, які лежать усередині кола та на його межі, так як для всіх точок, які лежать поза колом, має місце нерівність(рис.2.2).

в) .

Область визначення цієї функції визначається з нерівності . Межа області – парабола, яка ділить всю площину на дві частини. Щоб виявити, яка з частин є областю визначення даної функції, тобто задовольняє умову, достатньо перевірити цю умову для якої-небудь однієї точки, яка не лежить на параболі. Наприклад, точканалежить області визначення, тому що. Отже, область визначення даної функції є множина точок, розташованих нижче параболи. Межа (парабола) не належить до області визначення функції. (рис. 2.3).

г) z.

Областю визначення цієї функції є сукупність пар і, які задовольняють нерівностям. На площиніця область є смуга, обмежена прямимиі(рис.2.4)

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) .

Функція є функцією двох зміннихі. Припускаючи, щостала й обчислюючи похідну від функціїпо, знаходимо частинну похідну по: . Припускаючи, що стала й обчислюючи похідну від функціїпо, знаходимо частинну похідну по:

.

б) .

Вважаючи, що , маємо: .

Якщо, , то .

в) .

; .

г) .

;

.

д) .

При диференціюванні по функція має вигляд. Тому

.

При диференціюванні по функція набуває вигляду, тому

.

є) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо:

;

.

ж) .

При знаходженні частинних похідних імаємо функціюу вигляді дробу, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться змінні. Тому застосуємо правило диференціювання частки двох функцій, а саме:

;

.

з) .

При диференціюванні по задану функцію треба розглядати як степеневу. Тоді отримаємо. При диференціюванні пофункція має вигляд показникової. Будемо мати.

і) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо: по функція є показниковою, а по- степеневою. Знаходимо:;.

к) .

Обчислюючи , вважаємоі знаходимо частинну похідну від складеної функції по:.

Обчислюючи похідну , вважаємо, а функцію- складеною по:.

л) .

;

.

м) .

; .

н) .

;

.

3. Довести, що функція задовольняє рівняння.

Знайдемо частинні похідні функції :

; .

Підставимо саму функцію та її частинні похідні в наведене рівняння:

.

Будемо мати:

;

.

Отримано тотожність, це означає, що функція задовольняє рівняння.