3.1 Постановка и решение задачи о расчете усилий на контакте в экстремальных условиях

Рассмотрим процесс шлифования, как процесс резания множеством абразивных частиц, расположенных на периферии круга. При этом условно разобьем множество абразивных частиц на группы пучком плоскостей, проходящих через ось вращения круга так, чтобы расстояния между ними на периферии круга были равны среднему расстоянию между зернами — δ рис.21.

Тогда в пределах некоторого отрезка периферии круга абразивные частицы последовательно срезая металл, создают эффект резания одним обобщенным резцом с прямолинейной режущей кромкой и содержащим N сечений.

рис. 21

Схема формирования режущей кромки обобщенного резца.

Количество сечений в обобщенном резце

,

где t — глубина шлифования;

l_i — толщина слоя, снимаемого одним сечением обобщенного резца.

Часть обобщенного резца М, создающая силу резания на дуге контакта круга и детали, равна отношению числа контактирующих зерен N₀ к числу всех зерен N, снимающих слой материала на заданную глубину t, т.е.

Таким образом, задача о силах резания сводится к определению сил резания на некотором обобщенном резце со сплошной режущей кромкой, содержащим несколько режущих лезвий.

Тангенциальная составляющая силы резания Pz_i на единичном резце по Розенбергу А. М. и Еремину А. Н. может быть найдено из выражения [24]

,

где H_V – твердость обрабатываемого материала по Виккерсу;

t – глубина шлифования;

S_i – ширина единичного резца;

ε – относительный сдвиг;

ζ – усадка стружки;

η – угол трения скольжения;

γ – передний угол единичного резца.

Получим выражение для относительного сдвига ε и усадки стружки ζ при резании единичным резцом с отрицательным передним углом γ, которые характерны для геометрии режущих зерен абразивного инструмента. Для этого рассмотрим схему на рис. 22 .

рис.22

Схема к определению ε и ξ

Относительный сдвиг согласно схеме находится по следующему выражению:

;

тогда

(2.1)

Усадка стружки найдется из выражения

(2.2)

С учетом (2.2) выражение (2.1) после преобразования примет вид:

А составляющие силы резания P_z и P_y при шлифовании абразивным кругом определяются из выражений:

(2.4)

где N₀ – число зерен на дуге контакта;

l_i – толщина слоя, снимаемого одним сечением обобщенного резца;

S_ф – фактическая ширина каждого сечения обобщенного резца;

При скоростях резания, характерных для шлифования, усадка стружки слабо зависит от скорости резания и равна примерно 1,5 [4].

Тогда

В дальнейшем преобразование выражения (2.4) авторы работы [4] проводят, заменяя N₀ выражением содержащим параметры степенной функции опорной кривой шероховатой поверхности абразивного инструмента. Это является не совсем удобным, так как их определение предусматривает получение профилограмм шероховатых поверхностей абразивного инструмента и их обработку. Наиболее просто получить выражение для N₀ можно, используя полученное в работе [24] выражение для среднего расстояния между абразивными зернами – δ:

(2.6)

где К_δ – параметр, зависящий от объемного строения стандартного абразивного инструмента и условий правки его рабочей поверхности;

d_а – характерный размер абразивного зерна инструмента [25];

y – расстояние от наиболее выступающего зерна на периферии круга вглубь по радиусу круга;

n=1.0 – 2.5 (для электрокорундовых кругов на керамической связке n=1.5, на бакелитовой связке n=1, на вулканитовой связке n=2 [24]).

Принимая y=t , выражение2.6 примет вид:

t – глубина резания,

Коэффициент К_δ, входящий в выражение (2.6), находится по формуле [4]

(2.7)

где

β_n – объемное содержание пор в абразивном круге;

β_с – объемное содержание связки в абразивном круге;

k_ck – коэффициент структуры абразивного круга

β_з – объемное содержание зерен в абразивном круге;

n_M – максимальное число мостиков связки на 1 зерно;

k_np – коэффициент правки рабочей поверхности круга, k_np=0,18[4].

Параметры объемного строения стандартного абразивного инструмента регламентируются ГОСТ, определяющим объемное содержание зерна β_з, связки β_с и пор β_n в круге. На основании стандартных соотношений для β_з, β_с, β_n в абразивном инструменте могут быть построены номограммы для определения k_n и k_ck в формуле (2.7), представлены на рис. 23, 24, 25.

Для бесцентрового шлифования периферией круга с продольной подачей V_n=0,

где Г_к=

D-диаметр шлифовального круга.

Знак “+” относится к наружному шлифованию

d – диаметр детали,

V_k – скорость вращения круга,

V_д – скорость вращения детали,

V_пр – продольная скорость детали.

С учетом формулы (2.6) выражения для N₀ при бесцентровом шлифовании периферией круга примет вид

(2.8)

Толщина слоя, снимаемого одним сечением обобщенного резца l_i при бесцентровом шлифовании периферией электрокорундовых кругов, определяется из выражения [4]:

где S/b – подача в долях ширины обрабатываемой поверхности, S/b=1

т.к. V_n=0, тогда вырожение примет вид:

(2.9)

Фактическая ширина S_ф каждого сечения обобщенного резца с учетом дискретности контакта [24]

, (2.10)

где К_в – коэффициент формы вершины зерна, принимаем К_в=2 [13].

рис. 23 Номограмма для определения коэффициента К_п.

Подставляя (2.8), (2.9), (2.10) в (2.4) выражение для P_z примет вид:

; (2.11)

Выражение (2.11) получено из кинематических соображений и не учитывает высоких температур и скоростей деформации в зоне контакта круга и детали. Влияние этих двух факторов, характерных для процессов абразивной обработки, будет проявляться через изменение H_v в зависимости от температуры в зоне шлифования.

Автор работы [20], используя известное в теории пластичности соотношение между напряжением сдвига и твердостью по Виккерсу и вводя модифицированную температуру по скорости деформации (модификация К.Макгрегора и Н.Фишера), предложил для приближенного определения истинных напряжений (а соответственно твердости обрабатываемого материала) в зоне контакта при шлифовании воспользоваться зависимостями напряжение-температура, полученными методами испытания материалов.

Если известно H_VМ= f(θ) (зависимость твердости от температуры), полученной при постоянной скорости деформации ε₀, можно определить твердость для любой скорости деформации и температуры, найдя модифицированную температуру.

θ_М = 0,63 θ - 98,3 (˚С)

Построение функции H_V = f(θ) для сталей 12ХН3А при стандартных методах испытаний (рис. 25а).[5]

θ, °С

H_v, кгс/мм²

Рис. 25а Модификация Макгрегора-Фишера для стали 12ХН3А

12ХН3А

σ	σ	τф	НV	θ	θМ
115	0,35	123,977	743,86	800	405,7
80	0,56	108,088	648,53	900	468,7
54	0,65	80,37	482,23	1000	531,7
42	0,64	61,84	371,058	1100	594,7
28	0,58	38,65	231,919	1200	657,7
23	0,62	33,146	198,876	1250	689,2

Приведенные зависимости могут быть достаточно точно аппроксимированы степенной функцией

(HV)_M = Uθ^-V (2.11")

Уравнение (2.11") содержит две константы U и V, числовые значения которых могут быть определены.

Для этого на выровненной кривой, плавно проведенной через отложенные на графике (рис. 25а) опытные точки, берутся четыре произвольные точки с координатами (H_V)_M1 θ_M1, (H_V)_M2 θ_M2, (H_V)_M3 θ_M3, (H_V)_M4 θ_M4. Таким образом, могут быть написаны четыре частных уравнения:

(H_V)_M1 = Uθ_M1^-V

(H_V)_M2 = Uθ_M2^-V

(H_V)_M3 = Uθ_M3^-V

(H_V)_M4 = Uθ_M4^-V

После логарифмирования имеем

lg(H_V)_M1 = lgU – V lgθ_M1, (2.12")

lg(H_V)_M2 = lgU – V lgθ_M2, (2.13")

lg(H_V)_M3 = lgU – V lgθ_M3, (2.14")

lg(H_V)_M4 = lgU – V lgθ_M4. (2.15")

Вычитаем попарно уравнение (2.12") из (2.13") и (2.14") из(2.15"), исключается константа U, и получаем два уравнения с одной неизвестной V:

Lg (H_V)_M2 – lg (H_V)_M1 = V(-lg θ_M2+ lg θ_M1)

Lg (H_V)_M4 – lg (H_V)_M3 = V(-lg θ_M4+ lg θ_M3)

Вычтем из одного уравнения другое.

Откуда получим расчетное уравнение для определения константы V:

Обозначив

Δ lg (H_V)_M21 = lg (H_V)_M2 – lg (H_V)_M1

Δ lg (H_V)_M43 = lg (H_V)_M4 – lg (H_V)_M3

Δ lg θ_M21 = lg θ_M2 – lg θ_M1

Δ lg θ_M43 = lg θ_M4 – lg θ_M3

получим

Находим константу

U = (H_V)_M1 θ _M1^V = (H_V)_M2 θ _M2^V = (H_V)_M3 θ _M3^V = (H_V)_M4 θ _M4^V

Аппроксимация полученных функций H_VМ= f(θ) степенными функциями H_VM = Uθ^-V с определением значений U и V (рис. 25а).

HVM	θM	lg HVM	lg θM	ΔθM	Δlg HVM	Δlg θM
2561	900	3,408	2,954	100	-0,093	0,046
2066	1000	3,315	3
1640	1100	3,214	3,041	100	-0,084	0,038
1349	1200	3,13	3,079

U = (H_V)_M1 θ _M1^V = (H_V)_M2 θ _M2^V = (H_V)_M3 θ _M3^V = (H_V)_M4 θ _M4^V

U = 2561 · 900^1.125 = 539426,654 кгс/мм²

U = 2066 · 1000^1.125 = 489925,808 кгс/мм²

U = 1640 · 1100^1.125 = 432922,959 кгс/мм²

U = 1349 · 1200^1.125 = 392727,083 кгс/мм²

U_ср ≈ 450 · 10¹⁰ Па

H_VM = 450 ·10¹⁰ θ^-1.125 (2.12)

При подстановке (2.12) в (2.11) следует учитывать максимальное значение температуры θ_max в зоне шлифования [24]

, (2.13)

где λ- коэффициент теплопроводности материала детали;

α- коэффициент температуропроводности материала детали.

Подставляя(2.13) в (2.12) и (2.12) в (2.11), окончательно выражение для P_Z примет вид

(2.14)

Выделим в (2.14) в явном виде множители S, V_д, t, V_k в соответствующих степенях.

(2.15)