Пример 6.1. Расчет выборочных характеристик Рассчитаем оценки ê è ó, характеризующие содержание в 7 образцах подземных рассолов [40] соответственно КС1, "/о и Вг, кг/м*. Вместе с величинами õ è ó приведены разности и их произведения, нужные для расчетов по формулам (6.1), (6.2) и (6.5), и под чертой-суммы по столбцам.
x 1 × 1 (*-*102 1 („--ì102 1 (õ-õ)×Î*\ (9--Ì2104 1 (õ-*)(ó--*èè
0,04 1 0,23 1 -2,4 1 -9,4 1 5,76 1 88,36 1 22,56 0,03 1 0,29 1 -3,4 1 -8,4 ( 11,56 ) 70,56 1 28,56 0,09 ( 0,25 1 2,6 1 -12,4 I 6,76 1 153,76 1 -32,24 0,07 1 0,37 1 0,6 1 -0,4 1 0,36 1 0,16 1 -0,24 0,13 1 0,79 1 6,6 1 41,6 1 43,56 1 1730,56 1 274,56 0,005 1 0.09 1 -5,9 1 -28,4 1 34,81 1 806,56 1 167,56 0,08 1 0,55 1 1,6 1 17,6 1 2,56 1 309,76 1 28,16
0,445 * 2.62 * * * 105,37 * 3159,72 * 488,92
Расчет дает: ?=-*=0,064 ?==-*=0,374 5"(.к)=---*=0,00175Ь
*' Ñ*) = * * » " -* = °*
Близкая к единице величина г говорит о том, что бром в рассолах сопутствует хлористому калию.
Проверка статистических гипотез. Очень часто результаты эксперимента удается интерпретировать в терминах проверки гипотез.-
Обычная формулировка задачи здесь такова. Сопоставляются две выборки (или одна выборка сопоставляется с генеральной совокупностью). Формулируется нуль-гипотеза Íî', между обеими выборками нет существенной разницы, обе они принадлежат одной генеральной совокупности, а имеющиеся различия обусловлены случайным характером выборок, например, влиянием случайных о*цибок. В этом случае любые оценки, рассчитанные по. этим двум выборкам, будут оценками одних и тех же генеральных (истинных) значений; тогда в большинстве случаев имеет смысл объединить обе выборки в одну, увеличив тем самым число степеней свободы.
Противоположная, или альтернативная гипотеза Í*: различия объясняются не случайностью, а существом дела. Выборки относятся к разным генеральным совокупностям.
Пример 6.2. Формулирование гипотез. Рассмотрим несколько задач в терминах проверки гипотез. 1. Сравниваются показания двух приборов, измеряющих одну и ту же величину. Сопоставляемые выборки - совокупнэстн показаний первого н второго прибора. Нуль-гипотеза означает, что точность обоих приборов одинакова, аль» тернативная гипотеза -что один из приборов менее точен.
60
2. Оценивается качество партии продукции. Выборка-результаты анализов отобранных проб-сравнивается с генеральной совокупностью-всеми мыслимыми результатами, которые можно получить на продукции заданного качества. Нуль-гипотеза: данная партия удовлетворяет требованиям по качеству; альтернативная: партия бракованная.
3. Сопоставляются старый и вновь разрабатываемый катализаторы. Выборки-результаты опытов на том и другом катализаторе. Íî', новый катализатор не лучше (но и не хуже) старого. Í*'. новый катализатор отличается по активности. Другая, вероятно, более интересная альтернативная гипотеза: новый катализатор активнее старого, т. е. не просто отличается, а отличается в лучшую сторону.
При проверке гипотез возможны четыре ситуации. Первая: верна нуль-гипотеза, и мы ее принимаем; вторая: верна альтернативная гипотеза, и мы ее принимаем. В этих двух случаях наше решение правильно. В двух других случаях мы принимаем неверное решение (совершаем ошибку). Если верна нуль-гипотеза, а мы ее отвергнем, примем альтернативную, это ошибка первого рода. Если нуль-гипотеза неверна, а мы примем ее, это ошиб- к а в т о р о г о р о д а.
Пример 6.3. Ошибки первого и второго рода. В задачах примера 6.2 могут быть допущены следующие варианты ошибок.
1. При сравнении показаний двух приборов ошибка первого рода будет совершена, если мы забракуем один из приборов как неточный, тогда как на деле оба одинаково точны. Ошибка второго рода-если один из приборов недостаточно точен, а мы сочтем его пригодным.
2. При оценке качества продукции ошибка первого рода будет допущена, если забраковать годную партию продукции; ошибка второго рода-если счесть годной бракованную продукцию.
3. При исследовании нового катализатора ошибкой первого рода будет не заметить, что синтезированный катализатор активнее имеющегося; ошибкой второго рода-начать внедрять новый катализатор, который по существу ничем не лучше старого.
Разумеется, мы всегда хотим принять верное решение. Однако в подавляющем большинстве случаев невозможно полностью исключить вероятность ошибки. Теоретически решение может быть совершенно безошибочным лишь когда окажется изученной вся генеральная совокупность, что может потребовать бесконечного числа измерений. Поэтому наша задача - не исключить полностью ошибку, но сделать вероятность ошибки как можно более малой.
Наиболее действенный, но и самый дорогой способ уменьшения ошибок-увеличение объема выборки, числа измерений. Чем больше измерений, тем надежнее наши выводы.
Если же количество измерений ограничено определенным числом, то имеется иной способ влияния на вероятность ошибок. Этот способ состоит в задании уровня строгости испытаний, по которым принимается решение о принятии либо Íî, ëèáî Íã. Для этой ситуации характерно следующее. Чем строже наше испытание, тем больше вероятность ошибки 1-го рода и тем меньше- ошибки 2-го рода. Очень строгое испытание с большой вероятностью забракует даже годный объект, если по случайным причинам выборочные данные отклонятся от генерального значения.
61