САПР / M1 / 50-51

дога значения дискретной величины можно тем или иным спосо­бом определить соответствующую вероятность

Ð(è=è)=Ð(è) (5.1)

Здесь Р - символ вероятности; **-обозначение случайной вели­чины, могущей принимать разные значения; м - какое-либо кон­кретное ее значение. Правая часть означает, что искомая вероят­ность зависит от н: каждому значению è соответствует своя вероят­ность. В примере 5.1 Р(3)=0,30.

Время работы печи-непрерывная случайная величина: в определенных пределах она может принять любое значение. В любом сколь угодно малом интервале заключено бесконечное число ее возможных значений. Поэтому вероятность того, что не­прерывная случайная величина точно примет заданное значение, равна нулю. Заморенное значение обязательно отклонится от пред­сказанного, хоть на ничтожно малую величину.

Но из этого не следует, что нельзя говорить о вероятности при­менительно к непрерывным величинам. Действительно, включен­ная печь явно вероятнее проработает до остановки 24 ч, чем 24 с или 24 года. Дело в том, что для определения вероятности значе­ние непрерывной случайной величины нужно задать с д о п у с к о м. Если бы в примере вопрос был поставлен так: какова вероятность того, что продолжительность работы примет какое-либо значение в пределах от 24 ч до 24 ч 5 мин, т. е. был бы задан допуск, то вероятность составила бы определенную величину, отличную от нуля.

Формально для этого случая полагают: вероятность того, что непрерывная случайная величина и примет какое-либо значение в интервале от и äî è+(1è, равна

Ð(è*è5*.è+ñ1è)=Êè.)ñ1è (5.2)

Функция *(н) называется плотностью вероятности, или д и ф ф е р е н ц и а л ь и о и ф у н к ц и е и р а с п р е д е л е н и я ве­личины V.

Ясно, что в нашем примере Дн) при н=24 ч значительно боль­ше, чем при ы=24 с или н=24 года.

Основные свойства функции Дн). Вероятность того, что V при­мет какое-либо значение в конечном интервале от н1 до èó., равна

"2

Ð (è1 * è 1* è* == * ! (è) Äà (5.3)

В частности, можно рассмотреть случай н*-оо, т. е. вероят­ность того, что è окажется не больше из

ð (è * 02) = * ! (ö) àè (5.+)

-1»

50

Часто имеет смысл рассматривать верхний предел интеграла (5.4) как переменную. Тогда соответствующая вероятность становится функцией этого переменного верхнего предела

Ð (ö) = * ! (è) Äè (5.5*

- 00

Функцию Ð (è) называют и н т е г р а л ь н о и ф у н к ц п е и р а с- пределения случайной величины V. Дифференциальная функция есть производная от интегральной

?(»)=* (56)

Поэтому принципиально безразлично, какой из этих функций ха­рактеризовать V'. мы всегда можем перейти от одной к другой. Выбор *(н) или Ð(è) определяется удобством.

Если верхние пределы интегралов (5.4), (5.5) положить равны­ми +оо, получим вероятность того, что величина è получит хоть какое-либо значение между -оо и +оо. Это произойдет на­верняка, поэтому +оо

Ð (æ) = ** (î) Äà = 1 (5.7)

- 00

Нормальные случайные величины. В теории ошибок чаще всего встречаются случайные величины с н о р м а л ь н ы м з а к о н о м р а с п р е д е л е н и я. Этот закон задается дифференциальной функцией распределения , (ö-ä12

Ê")-'*** (**)

Числа а и ñ! являются параметрами закона, показывающими, чем одна нормально распределенная (нормальная) величина отличает­ся от другой. Смысл параметров рассмотрен немного ниже.

То, что нормальный закон встречается столь часто, связано с тремя обстоятельствами. Во-первых, в тех задачах, где ошибка получается как сумма большого числа слабых неконтролируемых влияний, распределение ошибки должно быть нормальным (по центральной предельной теореме теории вероятностей). Во-вто­рых, нормальный закон в некотором смысле-самый простой и к тому же лучше всего изученный; работать с ним наиболее удобно. В-третьих, есть очень много задач, в которых хотя закон и отли­чается от нормального, но ошибка от принятия нормальности рас­пределения оказывается небольшой и ею удается пренебречь. По­этому почти во всех случаях, когда закон распределения неиз­вестен и нет возможности его проверить, принимают нормальность. распределения ошибки.

51