Пример 4.6. Краевая задача.
Необходимо рассчитать процесс неизотермической абсорбции в протавоточ- ной насадочной колонне. Если растворитель нелетуч, то описание процесса будет содержать 4 дифференциальных уравнения, описывающих изменение концентрации поглощаемого компонента и температуры по длине в обеих фазах. (Воспользовавшись уравнениями материального и теплового баланса, их число можно уменьшить до двух, но это не скажется на ходе наших рассуждений.) Направим ось длины * снизу вверх; для низа насадки *=0, а для ее верха 1=**. Тогда два начальных условия-состав и температура входящего газа-заданы при *=0, а два-состав и температура входящей жидкости-при 1=*.
При численном решении краевой задачи, как правило, приходится задаться начальным приближением-ориентировочными значениями всех зависимых переменных в одной начальной точке. Затем задача решается, как задача Каши. Придя в конечную точку, мы обнаруживаем н е в я з к у - несовпадение расчетных значений тех переменных, которые заданы на этом конце, с заданными. С учетом этой повязки вносятся поправки в начальное приближение, и весь цикл расчета повторяется. Повторение цикла с внесением поправок производится до тех пор, пока невязка не окажется достаточно малой. Таким образом, краевые задачи решают и т е р а ц и о н н ы м и м е т о д а м и [5] .
Теперь рассмотрим некоторые задачи, различающиеся тем, относительно каких величин, входящих в математическую модель, следует разрешать уравнения.
Прямые и обратные задачи. Обратимся к уравнению (3.3). Более подробно это уравнение-общий вид уравнения математической модели имеет вид:
ó!=Ð{(Í,}*,* (4.2)
ãäå Ä=(Üî, Üã, 6р) - вектор параметров. Запись (4.2) отражает тот факт, что в модель обязательно входят параметры. Возможны два основных класса задач, связанных с уравнениями вида (4.2).
Задача первого класса формулируется так. Нам заданы Í, X, Â. В этих условиях следует определить ó!. Это прямая зада-
ч а. В такой формулировке она сводится к расчету функции, заданной в явной форме. Если рассмотреть переменные Í è X,
то решение прямой задачи дает изменение отклика, или р а с п р е д е л е н и е о т к л и к а в п р о с т р а н с т в е ф а к т о- р о в.
Задача второго класса: нам задано распределение отклика в пространстве факторов Í è X (как правило, задано в виде совокупности экспериментальных данных) и известен общий вид функции (4.2). Требуется определить параметры 60, Üð. Это обратная задача. Одному из главных направлений в решении обратных задач-математической статистике-посвящена глава 11.
Проектные и поверочные расчеты. Эти два типа расчетов в хи" мической технологии различаются тем, какие величины выбирают
46
в качестве выходных. П р о е к т н ы м р а с ч е т о м называют такой, цель которого состоит в определении потребных размеров аппарата, причем показатели, которых следует в нем достигнуть, заданы. Поверочным расчетом называют такой, в котором мы задаемся размерами аппарата и находим, какие показатели могут быть при этом достигнуты.
Зачастую целесообразно свести проектный расчет к совокупности поверочных: задаться рядом типоразмеров аппаратов, для каждого из них рассчитать достижимые показатели, после чего выбрать наилучший размер. Особенно простой такая процедура получается при использовании ЭВМ.
Â Î Ï Ð Î Ñ Ü1
4.1. По тонкой трубке течет газ. При каком ее диаметре течение уже нельзя рассматривать в приближении сплошной среды?
4.2. Какая математическая модель скорее всего будет содержать больше параметров: грубая модель очень сложного объекта или очень точная модель сравнительно простого объекта?
4.3. В ректификации бинарной смеси составы фаз заданы как минимум на двух концах колонны - у ввода флегмы и у куба. Почему расчет методом равновесных ступеней разделения проводится без итераций?