Тем не менее, полезно знать, что в некоторых практически важных случаях ошибки распределены по другим законам. Так, довольно часто измеряемая величина существенно неотрицательна, причем в опытах могут получаться значения, очень близкие к нулю, но величина меньше нуля получиться не может. Здесь принятие нормального закона распределения ошибок может существенно исказить картину. Нормальный закон предполагает возможность заметных отрицательных отклонений. Но если истинное значение à близко к нулю, то отрицательное отклонение, превосходящее -а, невозможно.
В таких измерениях чаще встречается логарифмически-нормальное распределение: нормально распределена ошибка не самой величины, а ее логарифма.
В вероятностных задачах, не относящихся к теории ошибок, часты и другие законы распределения-например, те, которые описаны в разделе 13.
Числовые характеристики. Закон распределения дает исчерпывающую информацию о случайной величине: поскольку она случайна, ничего большего, чем распределение вероятностей, о ней заранее сказать нельзя. Но для многих задач это-слишком сложная информация. Зачастую исследователю достаточно знать о случайной величине, какова она в среднем и насколько сильно ее значения разбросаны относительно этого среднего. Такие сведения содержатся в ч и с л о в ы х х а р а к т е р и с т и к а х с л у ч а и н о и в е л и ч и н ы.
Первая важнейшая числовая характеристика определяет среднее значение случайной величины. Ее называют математическим ожиданием, илииногдапростосреднимзна- чением. Математическое ожидание Ì(è), как нетрудно показать, является обобщением понятия среднее арифметическое. Оно получается сложением всех возможных значений случайной величины (от -оо до +оо), причем каждое значение умножается на соответствующую ему вероятность. Для дискретной величины
-Òåõ)
Ì(è)=*èÐ(è=è) (5.9)
è=-Õ
Для непрерывной случайной величины сложение заменяется интегрированием
-* ñî
Ì (è) = * è! (ö) àè (5 10)
-00
Вторая числовая характеристика-дисперсия-определяет с р е д н и и р а з б р о с значений случайной величины относительно ее математического ожидания (точнее, среднее значение квадрата разброса). Дисперсия Ñ (*) вычисляется по следующим формулам: для дискретной случайной величины
-*îî
Ñ (è) = * \.è-Ì (èÓÐ (è = è) (5. 11)
Ö »-(Þ
52
для непрерывной случайной величины
+°°
0(è)=\!è-Ì(.è)\*Êè)<1è (5.12)
-äà
Пример 5.2. Случайные величины с разными математическими ожиданиями и дисперсиями.
Масса гири аналитического разновеса - величина случайная: как бы хорошо ее ни изготовили, она на какую-то малую величину отклонится от номинального значения. Если гири изготовлены правильно, то можно считать, что математическое ожидание массы равно номиналу. Таким образом, математическое ожидание для однограммовой гири в 10 раз меньше математического ожидания для 10-граммовой гири.
Масса гири технического разновеса-тоже случайная величина, и ее математическое ожидание тоже равно номиналу. Но дисперсия в этом случае во много раз больше: для гири с номиналом 1 г допустимы значительно большие отклонения от этого значения, чем для гири 1 г аналитического разновеса.
Квадратный корень из дисперсии есть среднее квадрати- ческое отклонение случайной величины. Если речь идет о случайной ошибке, то это-средняя квадратическая о ш и б к а.
Для нормально распределенной случайной величины 1см. уравнение (5.7)] математическое ожидание равно а, дисперсия равна о'. Часто дисперсию любой случайной величины обозначают î'. Для среднего квадратического отклонения соответственно применяют обозначение (т
î(è)==)/*Ñ* (5.13)
Основные свойства математического ожидания и дисперсии определяются рядом теорем, которые здесь приводятся без доказательств.
Математическое ожидание неслучайной величины А (величины, которая всегда имеет одно и то же значение) равно А
Ì (À) = À (5. 14)
При сложении случайной и неслучайной величин неслучайное слагаемое можно вынести из-под знака математического ожидания.
Ì(À+è)=À+Ì(è) (5.15)
Это свойство позволяет рассматривать математическое ожидание ряда измерений как сумму истинного значения À и математического ожидания ошибки Т, причем, если отсутствует систематическая ошибка, то Л*(Т)=0. В теории ошибок обычно отождествляют математическое ожидание и истинное значение.
Свойство, аналогичное предыдущему, существует и для произведения
Ì(Àè)=ÀÌ(è) (5.16) 53