Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий
Ì(è+Ó+···+ã)==Ì(è)+Ì(Ó)+···+Ì(ã) (5.17)
Для дисперсии соответствующие свойства-несколько иные. Дисперсия неслучайной величины равна нулю
Ñ(À)=é (5.18)
Дисперсия суммы случайной и неслучайной величин равна дисперсии случайного слагаемого
Ñ(Ä+è)=Ñ(è) (5.19)
Это свойство также важно для теории ошибок: истинное значение не влияет на дисперсию измеряемой величины, которая определяется исключительно дисперсией ошибки.
Неслучайный множитель можно выносить из-под знака дисперсии; но при этом он возводится в квадрат, так как дисперсия имеет размерность квадрата величины
Ñ (Àé) == À*Ñ (è) (5.20)
Еще одно свойство дисперсии верно не для любых, а лишь для независимых случайных величин. О независимости скажем чуть позже, а сейчас определим это свойство. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий
ñ<ó+ó+·+ã,=ñ(è)+ñò+···+ñ(ã) (á*
Из свойств (5.20)-(5.21) вытекает важное следствие, определяющее д и с п е р с и ю с р е д н е г о а р и ф м е т и ч е с к о г о. Если имеется ряд измерений õã, õ÷, õï, причем ошибки каждого из них независимы друг от друга и характеризуются одинаковой дисперсией à*, то дисперсия среднего арифметического из этих из' морений меньше, чем дисперсия одного измерения, в ï ðàç.
Îé =0**) =*(*+*+ +*) =
= -* [0 Û + Ñ (äà) + . . + Ñ (*1 *
=-*(а'+<?'+···+0'')=-*=-* (5.22) Соответственно а (*) = °* (5.23)
Формулы (5.22)-(5.23) определяют, как возрастает точность при уве.ч11чснпи числа параллельных измерений; но они верны только в случае независимых ошибок, измерения.
è
Зависимые и независимые случайные величины. Рассмотрим две случайные величины, для которых мы знаем законы распределения. Предположим, что мы определили значение одной из них в каких-то *условиях. Если от этого закон распределения второй не изменился, то величины независимы; если изменился,-зависимы.
Пример 5.3. Независимые и зависимые язмерения. На завод поступает рудный концентрат. Содержание ценного компонента в нем колеблется по нормальному закону: а=8,65%; о=0,63°/о. Рассмотрим пару анализов концентрата в двух вариантах: первый-один анализ делаем сейчас, другой.-через неделю; второй вариант-первый анализ делаем сейчас, второй-через полчаса. Пусть в первом анализе получен результат 7,31%. В первом варианте это никак не повлияет на нашу информацию о результате второго анализа. Для него, пока мы его не сделали, по-прежнему остаются те же значения а и о. Во втором варианте положение иное. Здесь материал на второй анализ будет, видимо, отобран из того же вагона, что и на первый, и следует ожидать, что если первый анализ дал значение заметно меньшее, чем а, то же будет и со вторым.
В первом варианте результаты измерений независимы, во втором - зави- си мы .
Один из существеннейших источников зависимости ошибок измерений-временной дрейф, систематическое изменение во времени влияния неконтролируемых факторов. Накладываясь на изучаемые нами зависимости, дрейф искажает их.
Пример 5.4. Дрейф при изучении химического процесса. Исследуется влияние температуры на ход химической реакции, каждый опыт занимает 1 ч. Исследователь запланировал семь опытов-при 20°, 25°, 30°, 35°, 40°, 45°, 50°, причем делает их в указанном порядке за 1 день. Но он не учел следующ' р На ход реакции несколько влияет концентрация СО? в воздухе, которая на протяжении дня непрерывно растет вследствие дыхания людей и работы горелок: влияние растущей концентрации налагается на влияние температуры, искажая его.
Дрейф может быть непрерывным, как в примере 5.4, и дискретным, как в примере 5.3, в котором смену одного вагона другим естественно рассматривать как дрейф.
В любом хорошо организованном эксперименте необходимо предусмотреть меры для обеспечения независимости ошибок измерений. Одной из важнейших мер такого рода является рандоми- зация (от английского гапЛого-наугад, случайно.беспорядочно). Рандомизация заключается в том, что планируемые опыты выписываются в логическом порядке, а затем их номера перемешивав ются случайным образом, и именно в таком случайном порядке опыты производят. При этом важно, чтобы при наличии параллельных опытов каждому из них присваивали свой номер, и номера всех опытов (и параллельных, и различных) рандомизировали совместно.
В примере 5.4 рандомизованный (по таблице случайных чисел) порядок изменения температуры от опыта к опыту может иметь,' например, такой вид: 25°, 50°; 30°; 40°; 35°; 20°; 45°.
Рандомизация приводит к тому, что влияние дрейфа теряет свойства систематической ошибки и становится ошибкой случай-
55