Проверка производится снова. Если неадекватно и выражение '1 (3.10), то обрабатывают результаты в виде многочлена второго 1 порядка: *
'/-==&0+6À+&2*2-)--*3+611*+622*+
+ Ьйяхз* + 612% + Üèõë + 623% ( 3 . 1 1 ) При неадекватности этого уравнения можно проверить многочлен З-го порядка, и т. д.
По мере роста порядка многочлена точность описания растет, но одновременно все усложняется трактовка модели-анализ влияния каждого входа. Кроме того, чем больше коэффициентов содержит уравнение, тем больше опытов необходимо провести для их нахождения: минимальное число опытов равно числу коэффициентов, а для возможности оценки адекватности нужно провести больше опытов, чем будет коэффициентов. Значит, для получения линейной модели (3.10) опытов должно быть не менее 4, для модели (3.11)-не менее 10, а для модели З-го порядка с тремя аргументами-уже как минимум 20. Уравнения порядка выше третьего (при более чем одном аргументе) на практике встречаются редко.
Представление эмпирических зависимостей многочленами встречается наиболее часто. Это связано с тем, что математические свойства таких приближенных формул хорошо изучены и с ними удобно обращаться. Правда, некритическое использование полиномиальных формул (формул в виде многочленов) не всегда приводит к успех*'. Некоторые свойства объекта часто удобнее отражать при помощи формул, содержащих функции иных классов.
Так, при описании колебательных процессов несомненно удобнее использовать тригонометрические функции. Если пределы изменения невелики, такой процесс можно описать и многочленом, но он будет неоправданно сложным. Другой случай легко понять из примера.
Пример 3.5. Описание процесса в пограничном слое. Необходимо подобрать форму эмпирического уравнения для закона затухания турбулентных пульсаций скорости вблизи твердой стенки. Интенсивность пульсаций обозначим через я, а расстояние от стенки-через 1. Известно краевое условие: я=0 при 1=0 Функцию я*) можно было бы искать в виде
)<.=Üà+Ü1!+Üè1*+..·
Но тогда соблюсти краевое условие можно лишь, положив 6о=0. Получается довольно специальная категория полиномов без свободного члена. Описание характера затухания такой формулой может потребовать довольно многих параметров. Есть, однако, более простая зависимость
·õ=À["* (3.12)
При такой форме записи краевое условие удовлетворяется при любом значения го>0, а модель содержит лишь два параметра (À è ò).
36
Степенная форма, аналогичная уравнению (3.12), удобна, например, для записи зависимости критерия Нуссельта от критериев Рейнольдса и Прандтля, поскольку практически 1*ц*0 при Ке-»-0 или при Рг-*О
Ó!è=À!!å"Ð!" (3.13)
Встречаются и иные удобные формы записи, но наиболее распространены многочлены.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
3.1. Рассмотрите один из известных Вам химико-технологических процессов. Перечислите контролируемые, но нерегулируемые входы, управляющие факторы, важнейшие выходы процесса.
3.2. С тех же позиций, что в предыдущем вопросе, рассмотрите как систему процесс преподавания учебного курса в вузе.
3.3. Приведите аргументы в пользу применения либо структурного, либо эмпирического подхода при исследовании таких систем:
а) международный рынок химических продуктов; б) смешение компонентов смешанного удобрения; в) течение фаз в насадочной колонне; г) термоядерный синтез,
д) межотраслевая кооперация в народном хозяйстве; е) получение новых сплавов в космических условиях; ж) миграция населения в связи с постройкой нового химического комплекса,
3.4. Описать эмпирической формулой зависимость ó îò õ* è õã, если известно, что в некоторой точке (õ[=à, õó=Ü) величина ó достигает максимума. Мы хотим получить описание в виде многочлена 2-й степени. Какой вид должен иметь - многочлен с учетом условия максимума?
3.5. Мы знаем, что смесь веществ А и В при мольной доле А, равной 0,597, образует азеотроп. желательно описать зависимость откосятельной летучести А от состава вблизи азеотропной точки многочленом З-й степени. Как модифицировать вид многочлена, чтобы он учитывал состав азеотропа?
3.6. Предложите вид эмпирических уравнений для зависимостей, изображенных на рис. 3.2 кривыми 1, 2, 3.
3.7. По какому принципу записаны индексы в формулах (3.91-0.11)?
4. Некоторые рсобенности моделей и задач математического моделирования
О точности моделей. Ни одна модель в принципе не способна отразить оригинал полностью и всесторонне. Это положение вытекает
из общефилософских соображений и одинаково верно как для материальных, так и для мыслен- * ных моделей.
Более того, часто оказывается, что на практике целесообразнее пользоваться менее «совершенной» моделью, отражающей
; Рис. 3.2. Примеры графиков эмпирических за- ) виси м детей : 1 1-3 - кривые.