лучиться такое сложное описание, что его ни на одной ЭВМ не 1 удастся обсчитать. К тому же, чем сложнее зависимость, тем труд- 1 лее представить себе, как она выглядит в целом. Хотя такая на- 1 глядность, возможность составить общее представление о харак- 1 торе зависимости, не обязательно нужна при моделировании, но 1 обычно она заметно облегчает анализ. '
Еще одна трудность, связанная с применением многопараметри- ческих моделей,-это чувствительность к ошибкам о п ы т о в. Чем больше параметров, тем более точный эксперимент требуется, чтобы достаточно точно оценить эти параметры. Если модель построена на основе структурного подхода, а эксперимент не очень точен, то возникает специфическая опасность п о т е р и физического смысла: можно получить неверные значения параметров, хотя модель в целом будет давать достаточно точное совпадение с опытными данными. Это происходит потому, что ошибки в значениях разных параметров взаимно компенсируются. Модель остается пригодной для количественного описания объекта (в достаточно узких пределах), но физический смысл искажается - мы получаем превратное представление о величинах эффектов, связанных с параметрами. В конце концов физический смысл теряется, и параметры модели получают смысл подгоночных п а р а м е т р о в, назначение которых - лишь привести в соответствие данные и модель. Уравнение становится эмпирическим, о чем исследователь может не знать. Проиллюстрировать это можно даже на примере достаточно простого - двухпараметрического уравнения Ван-дер-Ваальса.
Пример 4.2. Компенсация ошибок параметров. В модели Ван-дер-Ваальса параметр à оценивает интенсивность межмолеку- лярного взаимодействия; параметр & - объем, занимаемый молекулами. Уравнение, разрешенное относительно давления, имеет вид:
Ð=-ó*--* (4.1)
Наиболее точные значения параметров для СОа таковы 1*39]: а*0.3652 Па. ·м*/моль; 6=4,28·10-* м*/моль. По опытным данным получены ошибочные значения: о=0,5755; 6=10-*. Сравним расчет давления ð, МПа при верных и ошибочных значениях параметров, а также расчет в приближении идеального газа.
рд* *.1. Пряная и парабола, проведенные по опытным точка!*'
несмотря на большое завышение величин
ïàðà1>*"Ð*' *·"Ó''*""'** '*"*"*"×'' О*Лячйю*Ся от дд*ец*танных по точному уравнению максималь- *д дз 3,5%. Это гораздо лучше, чем расчет по урдцдению идеального газа, где расхождение до- **га*т 22%. Таким образом, пользоваться модель»? *' Ó*™*'** '*'°*Ч°> но Физический смысл ддкал*ен: оценки силы взаимодействия и объема *оле*ул завышены соответственно в -1,5 раза д ц *2,3 раза, причем завышение одного из параметр"® "'''"У*Д*ЧНО* оно нужно для компен- *зции ошибки, содержащейся во втором пара-
"ðòðå .
*ели произошла такая утрата физического смысла, начинает дроярляться еще одна отрицательная особенность многопарамет" р*скихмоделей:ненадежность экстраполяции.Урав- **ööå, которое хорошо описывает объект в области, изученной зкспеРИМентально, становится крайне неточным уже при неболь' шом выходе за ее пределы. ,Рдзумеется, та же особенность прису- щд * чисто эмпирическим.'.*оделям.
дример 4.3. Неудачная экстраполяция. Экспериментатор изучал зависимость откли*а ó от фактора õ. Получены
следующие Данные: . æ -2, -1 0 1 2 ó 5,21 7,47 10,95 13,67 13,32
Экспериментатор знал, что зависимость ó от ж - почта прямолинейная, быта ддд*.)-, лишь слегка искривленная. Поэтому он обработал данные уравнением прямой с помощью метода наименьших квадратов и получил следующее выражением ó = 10, 124 + 2.242ä
(прямЗ" "а РИ*' 4·1?· На этом обработку можно было окончить, поскольку до- во*цд значительный разброс данных не позволяет учесть тонкие особенности поведения объекта (или же нужно поставить дополнительные опыты для уточнения *''°''**0"")· Но недостаточно опытный исследователь решил получить более *'о'"™ описание, применяв многочлен 4-й степени; он получил уравнение:
ó - 10,95 + 3.4575* -0 .36625** - 0.3575.ê8 - 0.001375ë*
(см. кривую на рис. 4.1). В исследованных пределах õ парабола 4-й степени хорошо соответствует опыту: она проходит через ВС* экспериментальные точки. Но дэ)Ке близкая экстраполяция, до значений .к=±3, дает результаты, явно не соответствующие ожидаемому ходу зависимости. Это происходит потому, что вследствие недостаточной точности эксперимента оценки членов высших стеле- вей оозались неточными. А их влияние быстро нарастает при удалении от области эксперимента.
Может показаться, что пример утрирован, однако он основан на личном опыте автора.
Основной вывод из сказанного: если необходима высокая точность описания, нужно применять многопараметрические модели,
1 1 ð при разных 1 11 1 1 р при разных 1 1
* 1 "''*'' 1 ?*; 1 á*ûå1 ** 11 * 1 "*"°* 1 *å 1 á°„"**1 ** 1
300 1 0,0005 13,99513,9331 4,989 11 400 1 0,0005 15,81416,0131 6,652 1 300 1 0,001 [2,24112,1961 2,495 11 400 1 0,001 13,11013,1201 3,325 1
**