Те значения Ь, при которых сумма 5 окажется минимальной, и будут наилучшими.
Как известно, для отыскания минимума функции нужно приравнять нулю ее частные производные по всем аргументам.
Обратите внимание на то, что в данном случае 5 следует дифференцировать по коэффициентам Ь. Действительно, факторы õ сейчас выступают как постоянные величины: это условия уже сделанных опытов, их изменять мы не можем. Именно коэффициенты суть те величины, от которых зависит значение 5. Таким образом, наилучшие значения могут быть найдены как решение системы уравнений
{ -à*=0 (7.6)
* *-*
В теории метода уравнения (7.6) носят название нормаль- н ы х у р а в н е н и и.
Отметим, что если ошибки определения (/-независимые нормально распре" деленные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми (хотя и неизвестными нам) дисперсиями, то решение системы (7.6) даст состоятельные, несмещенные и эффективные оценки коэффициентов 6, т. е. действительна наилучшие с точки зрения математотсакой статистики.
Проще всего расчет методом наименьших квадратов осуществляется, когда уравнение (7.1) линейно относительно коэффициентов Ь. Это значит, что его можно записать в следующем виде [в отличие от уравнения (7.1), факторы обозначены здесь буквой è*'.
ó=&î+61(ð1(«1,·.·,íä)+&2Ò2("1"··>»ä)+···+&ð×>ð("ã···<»&) (*)
причем каждая функция (р(н1, èü) должна быть известна заранее полностью, т. е. не включать никаких оцениваемых параметров. Параметры Ь входят в формулу только как множители при этих функциях. В этом случае говорят о линейном оце- н и в а н и и параметров.
Пример 7.1. Функции, линейные и нелинейные относительно коэффициентов.- Функция
ó == 60 + 61 51ï "1 -1- 62å-* + Ü, -*
линейна относительно Ьо, Ь,, Úã и Ьз, поскольку те функции от ц, и на, на которые они множатся, не содержат неизвестных параметров. Функция
ó = Ü*" 68
нелинейна, поскольку параметр Üã входит в показатель степени. Правда, если мы прологарифмируем левую и правую части, то получим функцию, .чи11сй11у1о относительно 1п 61 и 6а:
1ïó = 1ï 61 + Ü*è
Следует лишь учитывать, что если ошибки определения ó распределены нг*рчаль- но, то ошибки 1пу имеют уже не нормальный закон распределечия, что может привести к смещению оценок параметров. Во многих случаях, когда можно полагать, что смещение невелико, такое преобразование (логарифмирование) все же делают. Функция
Ö1 + 61Ö2 × = Ü*
нелинейна относительно параметров, и, по-видимому, нет преобразования, которое сделало бы ее линейной.
Функцию (7.7) можно записать в виде ó = üèõà + èä + Üãõå + + Üðõð (7.8)
ãäå õ!=!!)[(è!, ..., è/ñ), поскольку мы вправе обозначить каждую из функций (р буквой õ.
В формулу (7.8) для симметрии введена величина õà', она всегда равна 1 и, таким образом, Üîõî=Üî. Поэтому õî иногда называют ф и к т и в н о и п е р е м е н н о и.
Как уже говорилось, при расчете минимума 5 значения õ! фигурируют как постоянные числа-элементы матрицы X. Поэтому совершенно безразлично, получены ли эти числа- как «исходные» независимые переменные è или как функции этих переменных- лишь бы их можно было сосчитать до начала решения системы
(7.6)
Рассмотрим расчет коэффициентов для этого случая. Матрица X будет иметь вид:
*01 XII' .*01\
X = ( Õå÷ Õ12· ·Õð2 * (7.9)
'Õàí Õò' 'Õðï*
По формулам (7.7) и (7.9) квадрат разности для *-го опыта запишется так:
(ó}-ó]9)*=(ó]-Úîõ<è-Úëç-··-Úðõð))* (7.10)
При дифференцировании ,5 по 6, применим, во-первых, теорему о производной суммы: производная äÇ/äÜ* равна сумме производных по Ú от каждого квадрата, полученного по формуле (7.10). Во-вторых, каждый квадрат продифференцируем по формуле производной от сложной функции: вначале продифференцируем как квадрат, получим удвоенное выражение, стоящее в скобках в правой части уравнения (7.10), а затем умножим на производную от это- 1 Го выражения по Üñ. Эта последняя производная равна -õè, ïî-
1 69