Противоречие это объясняется коррелированностью õ! è õ, в опытах. Коэф- 1 фициент корреляции равен 0,97. Поэтому практически невозможно отделить вли- 1 яние одного фактора от влияния другого. Исключение из рассмотрения какого- 1 либо фактора заставляет полностью пересмотреть вопрос о влиянии всех других 1 факторов, с ним коррелированных. 1
Проверка гипотез относительно уравнений регрессии. Уравне- 1 'ния, полученные методом наименьших квадратов, называют урав- ( нениями регрессии. Получив уравнение регрессии, исследо- 1 ватель обычно и н т е р п р е т и р у е т его - выясняет смысл полу- 1 ченного результата. Важнейший этап интерпретации-проверка 1 гипотез. Чаще всего желательно проверить две гипотезы: во-пер- ) вых, г и п о т е з у о б а д е к в а т н о с т и у р а в н е н и я, это зна- ' чит, выяснить, достаточно ли точно данное уравнение описывает ' объект; во-вторых, гипотез** о значимости коэффици- 1 е н т о в у р а в н е н и я (к о э ф ф и ц и е н т о в р е г р е с с и и) . Дело ' в том, что коэффициенты 6 - выборочные оценки и, стало быть, * содержат случайные ошибки. Может оказаться так, что влияние I какого-то фактора пренебрежимо мал6, истинное значение соответ- 1 ствующего коэффициента регрессии равно нулю, но вследствие * случайных ошибок оценка не равна истинному значению. Такой 1 коэффициент называют н е з н а ч и м ы м. ]
К сожалению, корреляция факторов и обусловленная ею кор- 1 реляция оценок, как правило, не позволяет проверить гипотезу о 1 значимости. Эта проверка возможна в случаях, рассмотренных в 1 разделе 8, когда корреляция исключается выбором плана экспери- 1 мента. !
Проверка гипотезы об адекватности осуществляется путем * сравнения разброса опытных данных относительно уравнения ре- 1 грессии с величиной случайной ошибки эксперимента. Мерой раз- 1 браса опытных данных относительно уравнения является сета- 1 точная дисперсия *ост, равная отношению минимальной 1 суммы квадратов отклонений .5 [см. формулу (7.5)] к числу сте- 1 пеней свободы. Последнее равно разности между числом опытных 1 точек ï н числом оцененных по этим точкам параметров, равным 1 (*?+1) [см. уравнение (7.8)]. Окончательно 1
*'<>"=-„* (718) 1
Для оценки величины случайной ошибки рассчитывают Лис- 1 Персию воспроизводимости 5'(ó). Для этого проводят 1 одну или несколько серий п а р а л л е л ь н ы х о п ы т о в; в каждой 1 такой серии значения контролируемых факторов от опыта 1 к опыту не меняются. Затем находят 5*(ó) по формуле (6.2), под- 1 разумевая в этом расчете под ï число опытов в серии. Если серий 1 параллельных опытов несколько, то для каждой рассчитывают 1 дисперсию, проверяют однородность дисперсий (если все я равны, 1 то по критерию Кокрена) и находят 5'(ó) по формуле (6.9). 1
74 1
Адекватность проверяют по критерию Фишера
*** (*) так, как это описано в разделе 6.
Пример 7.3. Проверка адекватности уравнения Изучена зависимость ó îò õ. Приведем опытные данные:
¹ опыта 1 2 3 4 5
x -2 -1 0 1 2 ó 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0
Для оценки воспроизводимости проведены 4 опыта при *=0: x Î Î Î Î - ó 0,8 0,9 1,0 1,3 *=1,0)
Адекватно ли линейное уравнение?
Коэффициенты его найдем из опытных данных методом наименьших квадратов. Получим:
ó » 1 ,2 + 0.8ë:
Отклонения опытных данных от расчетных (остатки) составят:
-0,4; -1-0,4; -*-0.2; 0;-0,2
В соответствии с формулой (7.17), 5'ост=0,133. Из опытов при õ=0 по формуле (6.2) находим ÿ'(ó)=0,075. Отсюда
Ð ==-* = '·*
Числа степеней свободы: *1==5-2=3; *2=4-1=3. По таблице **нр*9.3; Ð<Ð*ð (ïðè à==0,05).
Уравнение адекватно.
Пример 7.4. Проверка адекватности при большей точности опытов. Адекватно ли линейное уравнение, полученное в предыдущем примере, если при оценке воспроизводимости получены такие результаты:
x Î Î Î Î - ó 0,95 0,9 1,05 1,1 (*=1,0)
Уравнение регрессии не изменяется, *ос**ЗЗ, но точность опытов иная: к" (ó) *00834. Ð = 15,9 ;> *ð
При такой точности эксперимента то же уравнение неадекватно. Проверим более сложное уравнение (2-го порядка). По тем же данным метод наименьших квадратов дает:
ó = 0,9143 + Î .8æ -(- Î, è2äõ' Для этого уравнения остатки равны:
--0,11; +0,26; -0,09; -0,14; -1-0,09 Откуда ;;'о„=0,0576
* * * = *'* 75