причем число степеней свободы равно уже 9. Наконец, сопоставим средние. Рассчитаем ( по формуле (6.11)
**-**', *.344 **36(*+-*)
Критическое значение *ер=2,2б при *==9; а=0,05, что много больше полученного (. Расхождение средних незначимо даже по уровню значимости 20'%) ( *„р = 1 ,38) .
Таким образом, у нас нет оснований считать среднее, полученное новым методом, значимо отличающимся от того, что дал известный метод.
Обратите внимание на то, что как и в примере 6.4, нельзя считать доказанным отсутствие расхождений между данными, полученными разными методами. Можно лишь утверждать, что полученные данные не противоречат гипотезе о равной точности обоих методов.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ. 1 6.1. Случайная величина приняла ряд значений: 1 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 *
Рассчитайте среднее и выборочную дисперсию. 1
6.2. По выборочным данным (объем выборки 7 измерений) рассчитаны: сред- 1 нее ж, а также Ó, õ* è *õ. Чему равно оставшееся число степеней свободы? 1
6.3. Новый лекарственный препарат проходит проверку на нетоксичность. 1 К каким последствиям приведет ошибка 1-го рода? Ошибка 2-го рода? 1
6.4. Возьмите результаты проделанных Вами экспериментов (ряд параллель- 1 ных измерений, в которых в принципе далекие получиться одно и то же) и слу- 1 чайным образом поделите на две выборки. Проверьте для этих выборок гипотезы 1 об однородности дисперсий и средних. 1
7. Метод наименьших квадратов 1
Метод наименьших квадратов играет важнейшую роль при реше- 1 НИИ обратных задач моделирования (см. разд. 4). Он отвечает еле- 1 дующей постановке задачи. 1
Вид уравнений математического описания задается. Он может 1 вытекать из структуры объекта, либо соответствовать, например, 1 многочлену га-й степени при эмпирическом подходе. Важно, что 1 обработка опытных данных проводится для определенного вида 1 уравнений. Неизвестны лишь коэффициенты этих уравнений - на- 1 раметры модели, и вот их-то мы хотим определить. В общем виде 1 уравнение можно записать в виде 1
ó={(õ1,õ*,...,õ!!,üà,ü1,...,üð) (7.1*
ãäå (.ê,, õã, ..., õü) - в е к т о р к о и т р о л и р у е м ы х ф а к т о р о в; 1 (6о,61,...,6р)-вектор параметров (коэффициентов). Здесь1 мы не будем делать различия между регулируемыми и нерегули- 1 руемыми факторами. 1
Например, в уравнении (3.11) вектор факторов: (õã,õ2,õÿ)·,\ вектор параметров: (йо, 61, Ьа, 63, Üè, Üàà, 6çç, 612, 613, 623). 1
66 1
Задача состоит в том, чтобы по опытным данным наилучшим образом определить значения параметров 6.
Обратим внимание на следующее. Поскольку в каждом эксперименте мы допускаем случайную ошибку, получаемые значения параметров будут оценками истинных значений. Проведенный эксперимент можно рассматривать как выборка'; при этом генеральная совокупность, мыслится как бесконечное число возможных опытов на данно*; объекте. Поэтому к данной задаче целесообразно применить аппарат математической статистики.
Рассмотрим метод наименьших квадратов в наиболее обычном и простом варианте: примем, что в опытах значения факторов õ задавались с пренебрежимо малой ошибкой, практически точно. Но значения отклика ó получались со случайными ошибками. Кроме того, будем считать, что все ошибки имеют одинаковый закон распределения, в принципе одинаковы и различаются только случайным образом (все измерения сделаны с одинаковой точностью) .
В этом случае метод наименьших квадратов сводится к следующему. Наилучшими будут те значения параметров Ъ, при которых сумма квадратов отклонений расчетных величин у от опытных окажется наименьшей.
Пусть функция задана в виде (7.1). Запишем условия всех опытов в виде таблицы - м а т р и ц ы п л а н а э к с п е р и м е н т а
(õè õÿ···õ1,1* x = ( Õè Xii Õ!ã2 ) (7.2)
* Õ*ï Õ*ï Õ,;,! *
Здесь каждая строка-условия одного опыта; каждый столбец-значения одного фактора в разных опытах; .ж,/ - значение 1-го фактора в *-м опыте*. Рассмотрим также вектор-столбец результатов эксперимента
Ó=( Óú ) (7.3)
*Óï!
Расчетное значение ó* для *-той строки матрицы X будет иметь вид ó]?==Êõ1ç,õ*ó,...,õ1ã],üè,ü*,...,üð) (7.4)
Приведенное выше определение метода наименьших квадратов может быть записано формулой
5=*(óó-ó,'*)*==ò!ï (7.5)
* В линейной алгебре обычно первый индекс при õ обозначает помер строки, второй-номер столбца. Однако в этой главе принят порядок обозначений, распространенный в литературе по теории эксперимента (см., например, книгу [7]).
5' 67