скольку все члены в скобках, кроме -Ú[õè не зависят от и, и при дифференцировании дадут нули.
-äü- '41 - ×* = -2 (èç - Üàõà) - Üë, - - ьрхру) хи = = 2 (-ХНУ) + Ьохвух*з + *хаки + + Ърхихру) (7. 1 1)
Как уже сказано, чтобы получить (К/*,, нужно сложить производные, полученные по вышеприведенной формуле, для всех опытов (для вс·ех значений ])·.
-* = 2 * (-õèò + Üèõ*õ!) + Ú*õèõè -1- + ьрхихр,)
Выра*кения, стоящие в скобках, будем суммировать по ! почленно: сначала первые члены, затем вторые и т. д. При этом для всех членов, начиная со второго, множитель и, - один и тот же при всех *, следовательно, его можно вынести за знак суммы
-ä6, =2( -*ХгзЧз+Ь»*ХчзХи+ +Ър* Хихр,* (7.12)
*. /*1 /*1 /=1 )
Приравняв производную нулю, сократим на 2, раскроем скобки и перенесем сумму, содержащую ó, в правую часть
ï ë ÿ ï Ü÷ * ÕûÕè + Ü1 * ÕèÕè + + Üð * õ**õð, = * õ*óóó (7. 13) /=1 /=1 !=! /=1
это и есть общая формула нормального уравнения для рассматриваемого случая. В первом уравнении системы нормальных уравнений 1=0, во втором 1=1 и т. д. В целом получаем:
( ï ï ÿ ÿ ÿ 1 Ü÷ * õâç* + Iii * õà*è + 62 * õ*õè + + Ьр * хоухрз = * õâèè 1 /-1 /*1 !=\ *-1 {=1 1 ÿ ÿ ï ÿ ÿ
1 6÷ * õòõè + 61 *õ1*} + 62 * хихг) + + Ър * хихру = * хиу, (7. 14) ) 1=ã /-1 *1 /*1 /=1
1 ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ 1 Ьа * ХозХрз + 61 * õèõð, *- 62 * õ*õð) + + Üð * õð)* = * õðçó) ( /=1 /=1 /=1 /=1 /-1
Это-система (*?+1)-го уравнения 1-й степени с (/?+1) неизвестными 60, 61, Úð. При малом числе неизвестных записать и решить ее несложно. В общем виде целесообразно применить для решения аппарат линейной алгебры. Нетрудно убедиться, что мат-
7 0
рица коэффициентов левых частей системы равна произведению матрицы X справа на транспонированную матрицу Õ*:
1 * ХчЗ' * ХаЗХи * *î* * ХозХрз 1 1 /=1 /-1 /-1 /=1 1
Õ*Õ = 1 * ХаЗХи * Хи* * ХиХг) * ХиХр) 1 ( 7 15 ) ' ' 1 /=1 /-=1 !=! /*1 1
1 *Хч]Хр]*ХиХрз*ХгзХр)*Х!,* 1 1- /==1 /*1 /=1 !=1 -1
Вектор-столбец правых частей системы (7.14) равен произведению **У, где У-вектор (7.3)
Õ*Ó_ = 1 * Ì×! 1 (7. 16)
1 * ХрзЧз 1 1- /=1 -1
Число неизвестных Ú равно числ*' *'равнений (поскольку каждое уравнение получено дифференцированием *по одному из Üå). Поэтому матрица (7.15) -квадратная. Это значит, что если опре- делительматрицы(7.15) не равен нулю, то система (7.14) имеет е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е - единственный набор коэффициентов. В случае, когда этот определитель равен нулю, матрица вы- рождена, получается бесконечно много решений-тогда по данным опытным точкам нельзя однозначно определить параметры модели. В матричных обозначениях решение системы (7.14) имеет вид
Â=(Õ*Õ)-1Õ*Ó (7.17)
где верхний индекс -1 есть символ обращения матрицы; Д - вектор искомых параметров. В форме (7.17) расчет удобно программировать для ЭВМ.
Пример 7.2. Расчет коэффициентов методом наименьших квадратов. Рассмотрим три задачи на метод наименьших квадратов. 1. По опытным данным построим зависимость плотности жидкости от температуры в виде параболы 2-й степени.
'Ã,Ê. 273 283 293 303 ð, êã/ìÇ 875 871 868 867