САПР / M1 / 72-73

Для уменьшения расчетов удг5но преобразовать переменные так, чтобы они выражались малым числом цифр. Так, вместо Ò можно использовать величину

Ò - 288 " -5-

вместо р использовать

ó = р - 870 Тогда зависимость получит вид:

Ó=ÜÎ+Ü1Õ+Ü2Õ*

где опытные данные таковы: x -3 --1 1 3 ó 5 1 -2 -3

В первом столбце матрицы плана во всех строках стоят значения до=1; во втором столбце-значения *, в третьем-значения õ'. Окончательно эта мат­рица имеет вид: 1 -3 9 1 -1 1

1 3 9

Система нормальных уравнений получится по формулам (7.14):

( 460 -1- 061 + 206* = 1 * 060-1-20Ü1+062=-27 1 2060 -1- 061 -1- 16462 === 17

Откуда 6о=-0,68751 Ь1=-1,35; &*=0,1875, и.1и р - 870 * -0,6875 - 1 ,35 -* + О, 1875 *-**

Окончательно р=1569,2-4,59 Г+0.0075 7".

2. Описать зависимость выхода продукта ó от давления р, МПа, и темпера­туры Ò, гК линейным уравнением по трем опытным точкам

ð Ò ó 1 5 0,53 3 5 0,68 2 7 0,64

Вид уравнения таков: ó=Üé+Ü[ð-\-Ü2Ò.

Здесь для получения матрицы плана к двум первым столбцам опытных дан­ных нужно приписать слева столбец õà, т. е. в каждой строке записать +1. Си­стема нормальных уравнений запишется в виде

( 360 -1- 661 + 1763 = 1 ,85 * 6Üî + 14à* + 3462 = 3,85 * 176ä + 34* -1- 9962 = 10 ,53

Откуда Ьо=0,3674; Ь1=0,075; &2=0,0175, или

ó -= 0,3675 + 0.075ð + 0.0175Ã 72

3. Изучается влияние факторов õ!, õç è õç на отклик ó. Предполагается, что зависимость имеет вид ó=Üå+Ü1õ!+Ü2õ2+Üàõç. Матрица плана и столбец ó имеют вид ò õã õú õç â

1 1 2 4 14 1 2 7 1 1 12 1 3 3 9 8 1 4 1 9 11

Рассчитаем матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений

* 4 10 13 ÇÇ* *10 30 29 89* **=( 13 29 63 121 1 *ÇÇ 89 121 299*

Определитель этой матрицы равен нулю. Таким образом, имеющихся дан­ных недостаточно для расчета зависимости.

Последняя задача примера 7.2 показывает, что не всегда опыт­ные данные пригодны для расчета параметров. Прежде всего, число опытных точек, должно быть не меньше числа рассчитывае­мых параметров. Иначе число степеней свободы, равное разности между числом точек и числом параметров, окажется отрицатель­ным, а расчет-невозможным. Но и при неотрицательном числе степеней свободы, как в рассмотренной задаче, матрица системы нормальных уравнений может оказаться вырожденной.

Вырождение матрицы связано со взаимной корреляци­ей факторов, хотя не всегда с той простой формой корреля­ции, которая рассмотрена в разделах 5 и 6. Необходимо отметить, что и во многих случаях, когда определитель матрицы нормальных уравнений отличен от нуля, корреляция факторов затрудняет ис­пользование зависимостей, полученных методом наименьших квад­ратов.

Пример 7.2. Закоррелированные факторы.

Исследована зависимость ó от двух переменных õ! и *а. Получены следую­щие данные:

.ÿ *ç è *â -"à »

Î -7 0,3 +* +2 0,2 +1 -2 0,3 -*2 -*5 0,5

Методом наименьших квадратов по этим данным получено уравнение

ó = 1 - Î , 5õ* -1- 0 1*ç

Дальнейшее исследование привело к выводу, что êã по существу не влияет на величину ó, которая зависит только от õ!. Тогда по тем же данным было рас­считано (также методом наименьших квадратов) уравнение, связывающее ó ñ ä)

ó == 0,29 + 0.027*1

Оба уравнения, полученные по одному и тому же опытному ма­териалу, совершенно по-разному описывают влияние ê* на у: согламо пер­вому из них, рост õú ведет к уменьшению ó, согласно вторсму - наоборот.

78