Числа степеней свободы: *'*б-3==2, /'2=3. По таблице /*ир=9,6. Таким образом, *'«**'пр. *'равнение адекватно.
Иногда провести параллельные опыты не удается. Кроме того, бывают случаи, когда параллельных опытов очень мало и оценка ç*(ó) представляется ненадежной. В этих случаях можно предложить рассчитывать 5'*), исходя из представлений исследователя, какая средняя ошибка в данном эксперименте (или при описании данного объекта) допустима. Если оценена не средняя, а максимальная допустимая ошибка, то можно принять, что средняя ошибка втрое меньше максимальной. Среднюю допустимую ошибку можно использовать как оценку 5(ó)·, дисперсия рассчитывается как ее квадрат. Поскольку такая оценка практически всегда базируется на большой информации, имеющейся у исследователя, то число степеней свободы для *(у) при расчете *' следует считать равным ос. Часто целесообразно сопоставлять выводы по экспериментальном*' значению дисперсии и по ее допустимому значению.
Пример 7.3. Оценка дисперсии воспроизводимости. Изучена зависимость плотности жидкости от температуры. Известно, что средняя ошибка определения плотности составляет 0,2 кг/м*. Для практического нсползования уравнения регрессии достаточна средняя точность 1 кг,*. Оценка дисперсии воспроизводимости зависит от поставленной задачи. Если мы хотим выяснить, нет ли заметных отклонений полученных данных от уравнения регрессии, то, видимо, целесообразно принять д'(у)==0,04 (кг/и')'; если же нас интересует, обеспечит ли расчет по уравнению приемлемую для практики точность, то можно пользоваться в 25 раз большей оценкой 5'(1*)= =1 *ьг/м*.
Нелинейное оценивание-оценивание параметров, входящих в уравнения математического описания нелинейно (см. пример 7.1). В этом случае, как правило, несложно записать нормальные уравнения, но они оказываются также нелинейными. Их решение обычно представляет собой сложную вычислительную процедуру.
Подробное изложение применения метода наименьших квадратов имеется в книгах [7, 20, 21]; методы нелинейного оценивания изложены в книге [42].
Â Î Ë Ð Î Ñ Û È 3 ÀÄ À× È.
7.1. Рассчитайте коэффициенты зависимости ó îò Ò по данным примера 3.4 и сопоставьте их с приведенным в нем уравнением.
7.2. Адекватно ли уравнение, полученное в предыдущей задаче, если считать допустимой среднюю ошибку описания 0.001?
7.3. Составьте систему нормальных уравнений для уравнения регрессии
ó à, à ìë õ -*- 6 ñîç õ и рассчитайте а и Ü по данным
x Î ÿ/4 ÿ/2 Ó 0,8 1,4 0,6
76
7.4. Как преобразовать нижеприведенные выражения к виду, линейному относительно коэффициентов*
*) ÷=*
*) '*=* ") ''=*
ã) ó=(}1å-*/'
7.5. Можно ли расценивать недостаток модели, рассмотренный в примере 4.2, как проявление корреляции?
8. Планирование эксперимента
Пассивный и активный эксперимент. Метод наименьших квадратов позволяет получить описание объекта по любым данным, «*ишь бы матрица системы нормальных уравнений была невырожденной. Если оценивание линейное, то расчет в принципе прост, хотя и громоздок. Поэтому с появлением ЭВМ возникла идея-получать *математические описания технологических процессов, пользуясь в качестве исходных данных результатами нормальной эксплуатации процесса.
В реальных условиях технологический процесс все время испытывает случайные колебания режима. Сегодня значения контролируемых факторов-несколько иные, чем вчера, а завтра будут еще немного другими. Нельзя ли каждое изменение режима рассматривать как эксперимент, и, обработав совокупность таких «экспериментов» методом наименьших квадратов, получить описание процесса, а затем использовать это описание для управления и оптимизации? Такой подход получил название пассивного экспе- р и м е н т а.
Рассмотрим пример.
В реакторе проходит сложный химический процесс. На первом этапе решено получить его эмпирическое описание в виде полинома 1-й степени.
На процесс влияют: температура Г, К, объемная скорость V, с-', и мольное отношение реагентов ã. Отклик-выход продукта ó. Из технологического журнала выписаны данные о работе реактора:
Дата Смена Ò Ó ã ó
17/Õ 1 802 0,063 2,71 21,3 2 807 0,060 2,69 22,0 3 804 0,061 2,73 20,9
18/Õ 1 799 0,063 2,72 21,0 2 802 0,062 2,70 22,1 3 805 0,060 2,72 20,9
Столбцы Ò. V, ò образуют матрицу плана эксперимента, а/ - вектор-столбец Результатов. Методом наименьших квадратов рассчитано уравнение
è =<. 12,5 + 1 ,59 (Ã - 800) + 2570 (1Ð - 0,06) - 16 (ã - 2,7)
*.