10.2.1.2. Решение на основе лексикографического упорядочения критериев

Как и в предыдущем подходе, предпочтения ЛПР выявляются до поиска наилучшего решения. Метод применим, если для ЛПР приемлемо ранжирование критериев по важности и при этом предпочтительным является то решение, в котором лучше значение более важного критерия независимо от значения всех менее важных критериев.

Лексикографическое отношение определяется следующим образом. Для двух векторовиимеет место отношениетогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

1. >

2. >(10.15)

………

m)>.

В этом случае говорят, что вектор Y лексикографически больше вектора .

Множество векторов (решений), оптимальных по отношению наG (соответственно на D), называют множеством лексикографически оптимальных точек (Opt_lexY). Так как для любых двух векторов либо один лексикографически больше другого, либо они равны, то множествоOpt_lexY, если оно не пустое, содержит только один элемент. Так на множестве G, изображенном на рис.10.3, лексикографически оптимальной является только точка h.

Лексикографически-оптимальное решение достигается в процессе решения следующей последовательности задач:

1. находим при условии;

2. находим при условии;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

m) находим при условии .

Процесс решения прекращается, как только очередная задача из этой последовательности дает единственное решение. Нетрудно показать, что такая процедура приводит к решению многокритериальной задачи, которое принадлежит парето-оптимальному множеству. В то же время, если остановиться на задаче, имеющей не единственное решение, то нельзя гарантировать, что полученное решение является эффективным (оно может быть слабо эффективным).

В случае линейной модели решение последовательности отдельных задач можно объединить в один симплекс-процесс, что значительно снижает трудоемкость решения. Для этого применяют лексикографический вариант симплекс-метода.

В этом методе каждому критерию соответствует своя строка относительных оценок (i-индекс критерия, j-индекс переменной). Строки располагаются в порядке убывания приоритетов критериев. Сначала симплекс-преобразования выполняются по . При достижении оптимального решения по 1-му критерию () выявляют нулевые оценки небазисных переменных. Если таких нет, то решение единственное и лексикографическая оптимизация завершается. Если они есть, то в строкев столбцах с выделенными нулевымиищут отрицательные оценки. Небазисная переменнаяx_s, для которой а<0, вводится в базисное решение, улучшая значение 2-го критерия без ухудшения значения 1-го критерия. Этот процесс продолжается, пока будут выявляться такие перспективные переменные. Если они исчерпались или их не было, то переходят к решению по 3-му критерию, т.е. к выбору перспективных переменных по строке . Введение в решение небазисной переменнойх_р улучшит значение 3-го критерия без изменения первых двух, если а<0. Процесс решения многокритериальной задачи завершается, когда на последующих этапах не находятся перспективные переменные.