Конспект лекции по ТЭС

cos 2f1kt bk sin 2f1kt ,

x(t) a0

ak

(20)

f1 1/ T

k 0

где

– частота первой гармоники,

1

T / 2

2

T / 2

x(t) cos 2f1kt dt ,

2

T / 2

x(t) sin 2f1kt dt .

a0

x(t)dt , ak

bk

(21)

T

T

T

T / 2

T / 2

T / 2

Ортогональность функций выполняется на интервале времени T / 2;T / 2 :

T / 2

T / 2

T

T / 2

cos(2f1kt) cos(2f1lt)dt

sin(2f1kt) sin(2f1lt)dt

k l ,

cos(2f1kt)sin(2f1lt)dt 0 .

T / 2

T / 2

2

T / 2

Совокупность коэффициентов ряда Фурье {ak , bk } называют спектром

периодического сигнала.

Свойства коэффициентов ряда Фурье:

1) a k

ak (чётные);

2) b k

bk (нечётные).

Ряд Фурье (20) можно записать в другой форме

cos 2f1kt k ,

x(t) Ak

(22)

k 0

arctg bk

/ ak .

где A0 | a0 | ,

Ak

ak2 bk2

,

k

Согласно (22) сигнал x(t)

можно представить в виде суммы гармонических колебаний

с частотами кратными основной частоте

f1 , с амплитудами Ak

и начальными фазами k .

Совокупность

амплитуд

Ak

( k 0,1, 2,...)

A

образуют амплитудный спектр сигнала, а

k

совокупность

фаз

k

–

фазовый

спектр

0 f1 f2

f3 f4 f5

f

сигнала.

Спектр

периодического

сигнала

Рис. 5. Амплитудный

спектр

периодического

дискретный

или

линейчатый.

Ak

и

k

сигнала

для ряда Фурье с действительными

определены только на положительных частотах.

коэффициентами.

Комплексный ряд Фурье

Ряд Фурье (22) можно представить и в комплексной форме, если воспользоваться

представлением cos(x) (e jx e jx ) / 2 :

e

j 2 f1kt

,

(23)

x(t) Ck

k

где

Ck – комплексная амплитуда,

1 T / 2

j 2 f1kt

Ck

x(t) e

dt .

(24)

T

T / 2

Совокупность

Ck

образует амплитудный спектр, а k arg(Ck ) – фазовый спектр.

Ck

f5 f4 f3 f2 f1 0 f

1

f2 f3 f4 f5

f

ak jbk

1

C0

a0 ,

Ck

, при k 0 ;

| C0

| A0 ,

Ck

Ak

;

(25)

2

2

3) амплитудный и фазовый спектры являются двусторонними по частоте.

T или

f1 0 . Тогда вместо ряда Фурье

получим

интеграл Фурье,

а вместо

коэффициентов ряда – функцию от частоты Sx ( f ) .

Формулы,

связывающие x(t)

и Sx ( f )

x(t)

Sx ( f ) e j 2 f t df (обратное преобразование Фурье),

(26)

Sx ( f ) x(t) e j 2 f t dt (прямое преобразование Фурье).

(27)

Модуль

Sx ( f )

– амплитудный спектр, а arg Sx ( f ) x ( f ) – фазовый спектр сигнала.

1

f

5)

x(a t)

Sx

(масштабирование сигнала во времени – сжатие или растяжение);

| a |

a

1

k

6)

Ck

Sx

(связь со спектром периодического сигнала (преобразование 1 периода));

T

T

1

1

7)

u(t) x(t) cos(2f0t) ,

Su

( f )

Sx ( f f

0 )

Sx ( f f0 ) ;

2

2

1

1

8)

u(t) x(t) sin(2f0t) ,

Su

( f )

Sx ( f

f0 )

Sx

( f

f0 ) ;

2 j

2 j

9) u(t) x(t) e j 2 f0t ,

Su ( f ) Sx ( f f0 ) ;

Su ( f ) Sx ( f )Sg ( f ) .

u(t) x(t) g(t)

g( )x(t )d

x( )g(t )d ,

используется дельта-функция Дирака

(t)

(t) ,t 0,

1

0,

t 0.

– 0

t

Свойства дельта-функции:

Рис. 7.

1) площадь дельта-функции равна единице: (t)dt 1;

2) отсчётное свойство: x(t)(t t0 ) x(t0 )(t t0 ) ;

3) фильтрующее свойство: x(t)(t t0 )dt

x(t0 )(t t0 )dt x(t0 ) ;

1

4) (at)

(t) ; 5) S ( f ) 1 , откуда

(t) e j 2 ft df

cos(2 ft)df .

| a |

j 2 f1kt

.

x(t) Ck e

Тогда

k

j 2 f t

j 2 (kf1

f )t

( f )

x(t) e

dt

e

dt

Sx

Ck

k

или

( f )

( f kf1 ) .

(28)

Sx

Ck

k

Спектральная плотность периодического сигнала

состоит из последовательности

1)

x(t) A (t) ,

Sx ( f ) A ;

x(t)

Sx ( f )

A

t

A

f

0

0

2)

x(t) A ,

Sx ( f ) A ( f ) ;

x(t)

Sx ( f )

A

A

t

0

f

0

3) x(t) Acos(2f0t) – гармоническое колебание, Sx ( f )

A

( f

f0 )

A

( f

f0 ) ;

2

2

x(t)

Sx ( f )

A

A/2

A/2