Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспект лекции по ТЭС

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
1.85 Mб
Скачать

Если принятая комбинация y будет принадлежать нижней части таблицы, где (ei ) t , то у декодера есть два варианта:

1)отказаться от её декодирования и объявить об обнаружении ошибки (алгоритм неполного декодирования);

2)декодировать её в соответствующую кодовую комбинацию, принадлежащую верхней строке (алгоритм полного декодирования).

Если используется полный алгоритм, то декодер исправит все комбинации с t и менее ошибочными символами и часть комбинаций с большим числом ошибочных символов.

Например, для кода (5,2) таблица декодирования будет следующей:

0 0 0 0 0

0 1 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 0

 

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 1 0

 

1 0 0 0

1 1 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

1 1 1 1 1

1 0 0 1 0

 

0 1 0 0

0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 1 0 0 1

1 0 0 1 1

1 1 1 1 0

Пример

0 0 1 0

0 1 0 1

0 0 0 1 0

0 1 1 1 1

1 0 1 0 1

1 1 0 0 0

кода

0 0 0 1

0 1 1 0

0 0 0 0 1

0 1 1 0 0

1 0 1 1 0

1 1 0 1 1

(4,1)

1 0 0 1

1 1 1 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 1

1 0 0 0 1

1 1 1 0 0

 

1 0 1 0

1 1 0 1

0 0 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 1 0 0

1 1 0 0 1

 

1 1 0 0

1 0 1 1

Она содержит mn 25

32 комбинации длины n 5 .

 

 

Приняв одну из ошибочных комбинаций, декодер по таблице легко декодирует её в ближайшую по Хэммингу кодовую комбинацию. Далее, если код систематический, то декодер отделяет информационные символы и выдаёт их получателю. Если код несистематический, то информационные символы определяются по таблице кодирования.

Синдромное декодирование или декодирование с использованием проверочной матрицы

При большом числе кодовых комбинаций можно значительно сократить таблицу

декодирования, если использовать проверочную матрицу кода

H , с помощью которой

вычисляют синдром:

 

s HT y .

(37)

Поскольку

 

y ci e ,

(38)

то синдром s полностью определяется комбинацией ошибок:

 

s HT y HTci HTe HTe .

(39)

Различные комбинации ошибок определяют различные синдромы. При синдромном декодировании достаточно определить все mn k синдромов.

Например, используя проверочную матрицу кода (5,2),

1

1

 

 

1

1

0

 

 

1

H 1

 

 

 

 

 

 

 

0 ,

 

0

 

0

1

 

 

0

 

0

 

 

 

0

 

 

1

по формуле s HTeˆ вычислим всевозможные синдромы:

ˆ T

(e0 , e1, e2, e3 , e4 )

s

T

(s0 , s1

, s2 )

e

 

 

0 0 0 0 0

 

 

0 0 0

 

 

1 0 0 0 0

 

 

1 1 1

 

 

0 1 0 0 0

 

 

1 0 1

 

 

0 0 1 0 0

 

 

1 0 0

 

 

0 0 0 1 0

 

 

0 1 0

 

 

0 0 0 0 1

 

 

0 0 1

 

 

0 0 1 1 0

 

 

1 1 0

 

 

0 0 0 1 1

 

 

0 1 1

 

130

Число различных синдромов равно mn k 25 2 8 .

Чтобы декодировать принятую комбинацию в кодовую комбинацию необходимо:

1)вычислить синдром s ;

2)по таблице синдромов определить соответствующую комбинацию ошибок eˆ ;

3)по формуле

cˆi y eˆ

(40)

находят возможную переданную кодовую комбинацию.

Возможности кода по обнаружению и исправлению ошибок

Режим обнаружения работы декодера используется только для обнаружения ошибок. Предполагается, что при обнаружении ошибок декодер делает переспрос принятой с ошибками кодовой комбинации для её повторного приёма. В режиме исправления ошибок декодер только исправляет ошибки в принятой кодовой комбинации.

Обнаруживающая способность кода определяется как максимальное число

ошибочных символов, которое гарантированно обнаруживается кодом:

 

qо dmin 1 .

(41)

При этом, число различных комбинаций ошибок, содержащих от 1 до qo ошибочных

qo

 

символов, равно Cni (m 1)i . В действительности код позволяет обнаружить

mn mk

i 1

различных ошибочных (запрещённых) комбинаций.

Исправляющая способность кода – это максимальное число ошибочных символов, которое гарантированно позволяет исправить код. Если минимальное расстояние кода равно dmin , то исправляющая способность кода равна

 

 

 

dmin

1

 

 

 

 

t

 

 

 

.

(42)

 

 

 

 

2

 

 

t qo , то

 

 

 

 

 

Поскольку

t и

менее

ошибочных символов кодом обнаруживается и

исправляется, а

t 1 , t 2

и т.д.

до qo

ошибочных символов будет обнаружено,

но не

исправлено.

 

 

 

 

 

 

 

 

Декодирование при стираниях

Демодулятор может быть сконструирован таким образом, что если символ принят неоднозначно (из-за действия помех или из-за кратковременных сбоев), то он объявляет его стёртым символом. Стёртый символ – это дополнительный символ алфавита, положение которого в принятой комбинации точно известно, но неизвестно его значение. Стёртые символы отличаются от ошибочных тем, что у ошибочных символов неизвестно ни положение, ни значение ошибки.

Если минимальное расстояние кода dmin , то любая комбинация из

или меньшего

числа стёртых символов может быть исправлена при условии, что

 

dmin .

(43)

131

Помехоустойчивость блочных кодов

Помехоустойчивость различных кодов, исправляющих или обнаруживающих ошибки,

характеризуется или оценивается вероятностью ошибки декодирования кодовой комбинации Pдек.к.к , вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации

Pн.о.к.к и вероятностью ошибки на бит pb .

Режим исправления ошибок

Алгоритм неполного декодирования. Если декодер исправляет t и менее ошибочных символов (алгоритм неполного декодирования), то вероятность того, что декодер, анализируя принятую комбинацию с ошибками, вместо переданной выдаст в качестве решения другую кодовую комбинацию (вероятность ошибки декодирования кодовой комбинации), равна

 

 

 

 

 

 

mk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Pдек.к.к

1 Pпр.дек

1 P(ci )P d (y, ci ) t | ci

.

(44)

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Для линейного кода P d (y, ci ) t | ci P (e) t . Тогда

 

 

 

 

mk 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pдек.к.к 1

P(ci ) P (e) t 1 P (e) t .

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В дискретном симметричном канале без памяти

 

 

 

 

 

 

t

 

 

i p

 

i

 

 

t

 

 

 

 

 

i

 

 

n

i

i i

n

i

 

P (e) t Cn (m 1)

 

 

 

 

 

(1 p)

 

Cn p

(1 p)

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

t

 

m 1

 

 

n

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

Pдек.к.к

1 Cni

pi (1 p)n i

Cni

pi (1 p)n i .

(45)

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

i t 1

 

 

 

 

Алгоритм полного декодирования. Если таблица декодирования содержит кроме исправляемых ошибочных комбинаций и обнаруживаемые комбинации, то при полном декодировании все обнаруживаемые комбинации также используются для исправления ошибок. При этом декодер исправит также часть комбинаций с большим, чем t , числом ошибок. В этом случае вероятность ошибочного декодирования можно оценить неравенством

n

 

Pдек.к.к Cni pi (1 p)n i .

(46)

i t 1

Режим обнаружение ошибок

Если декодер работает в режиме обнаружения ошибок, то вероятность того, что декодер не обнаружит ошибки (вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации)

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Pн.о.к.к

ni

pi (1 p)n i

,

 

(47)

 

 

 

i dmin

 

 

 

 

 

 

где ni – спектр кода.

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

и

 

Например, спектр кода (5,2) равен n

 

1, 0, 0, 2,1, 0

 

 

P

 

2 p3 (1 p)2

p4 (1 p) .

(48)

н.о.к.к

 

 

 

 

 

 

 

 

Если спектр кода неизвестен, то оценить сверху вероятность необнаруженной

ошибочной кодовой комбинации можно неравенством (верхняя граница)

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Pн.о.к.к

Cni

pi (1 p)n i .

 

(49)

i dmin

132

Вероятность ошибки на бит или вероятность ошибки информационного бита после декодирования кодовой комбинации можно оценить по формуле

 

m / 2

n

t i

 

 

 

pb

 

Cni

pi (1 p)n i .

(50)

 

 

 

m 1 i t 1

n

 

 

При малых вероятностях ошибки символа в канале ( p 1 ), наибольший вклад в вероятность ошибки будет вносить первое слагаемое суммы, поэтому

pb dmin Pдек.к.к .

n

Вероятность ошибки на бит pb рассчитывается в предположении, что информации без избыточности или когда энтропия источника H (A) log2 m .

(51)

источник

Границы для минимального расстояния кодов

Границы минимального расстояния используются для доказательства существования и оценки эффективности помехоустойчивых кодов.

Граница Хэмминга. Для любого блочного m-ичного (n, k) кода, исправляющего t ошибочных символов или имеющего dmin 2t 1 , число проверочных символов должно быть равным

 

t

i

i

(52)

r n k logm

Cn (m 1)

.

i 0

 

 

 

Это условие следует из неравенства

 

 

 

 

t

 

 

 

 

mn k Cni (m 1)i .

 

(53)

i 0

 

 

 

 

Если при заданных n , k и t выполняется строгое равенство, то

код называется

совершенным кодом. Совершенный код исправляет все t и менее ошибочных символов и не исправляет ни одной комбинации с большим числом ошибочных символов. Например, двоичный ( m 2 ) код Хэмминга (7, 4) , исправляющий одиночные ошибки ( t 1), является совершенным кодом.

Граница Синглтона. Минимальное расстояние по Хэммингу линейного блочного

(n, k) кода удовлетворяет неравенству

 

 

 

 

 

 

 

dmin

n k 1.

(54)

Если выполняется равенство, то такой код называют кодом с максимальным

расстоянием. Для кода с максимальным расстоянием

 

dmin n k 1 2t 1 .

(55)

Т.е. для исправления ошибочного символа достаточно двух проверочных символов

(один определяет положение ошибочного символа, а второй значение ошибки).

 

Пример 1: для кода (5,2) dmin 4 . Действительное значение dmin 3 .

 

Пример 2: для кода Хэмминга (7,4) dmin

4 . Действительное значение dmin

3 .

Примером кода с максимальным расстоянием является код Рида–Соломона.

Граница Плоткина. Минимальное расстояние dmin двоичного (n, k)

кода должно

удовлетворять неравенству

 

 

2k 1

 

 

 

 

 

d

min

 

 

 

n .

(56)

2k

 

 

 

1

 

Пример 1: для кода (5,2) dmin 10 / 3 3,333 . Действительное значение dmin

3 .

Пример 2: для кода Хэмминга

(7,4)

dmin

56

3, 733 . Действительное значение

 

 

 

 

 

15

 

 

dmin 3 .

133

Граница Плоткина более точная для низкоскоростных кодов, когда скорость кода Rc k / n мала. Границы Синглтона и Плоткина грубые, но вычисляются проще, чем граница Хэмминга.

134

ЛЕКЦИЯ 17

Линейные систематические коды. Код с проверкой на чётность. Коды Хэмминга. Порождающая и проверочная матрицы. Алгоритмы кодирования и декодирования. Их реализация на примере кода (7,4).

Простые двоичные линейные блочные коды

1. Примитивный код. Примитивное кодирование используется для согласования алфавитов источника и канала. Например, для передачи текста по каналу связи посредством сигналов двухпозиционной модуляции, каждую букву на передаче необходимо представить в виде последовательности двоичных символов.

Параметры примитивного кода: (n, k) (n, n) , Rc 1, dmin 1, t qo 0 , спектр кода ni Cni , i 0,1,..., n . Код не способен обнаруживать и исправлять ошибки.

Вероятность ошибки декодирования кодовой комбинации, вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации и вероятность ошибки на бит равны

 

 

n

n

 

Pдек.к.к Pн.о.к.к

 

ni

pi (1 p)n i Cni pi (1 p)n i 1 (1 p)n ,

(57)

 

 

i dmin

i 1

 

pb p .

Если вероятность ошибки символа в канале p 1 , то

Pдек.к.к Pн.о.к.к n p .

(58)

2.Код с проверкой на чётность: (n, k) (n, n 1) (k 1, k ) . Кодовая комбинация кода

спроверкой на чётность получается путём добавления к k информационным символам одного проверочного символа, равного сумме по модулю 2 всех информационных символов:

c (b0 ,b1 ,..., bk 1, k )T , где k b0 b1 ... bk 1 .

Код имеет следующие параметры:

R

n 1

,

 

1

, d

 

2 ,

t (d

 

1) / 2 0 ,

 

 

min

min

 

 

c

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qo dmin 1 1, код с максимальным расстоянием (т.к. dmin

n k 1).

 

 

 

Спектр кода: n 0 при i –нечётное, n

Ci

при i –чётное:

 

 

 

 

 

i

i

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni 1, 0,Cn2 , 0,Cn4 ,..., Cn4 , 0,Cn2 , 0,1 .

Порождающая и проверочная матрицы кода равны:

 

 

 

 

 

1

0

 

.. 0

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Ik

 

 

0

1

 

.. 0

 

 

Γ

T

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

Γ

 

..

 

.. .. ..

, H

In

k

 

 

1 .

 

 

 

 

 

0

 

0

 

..

 

1

 

 

 

 

 

 

..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

.. 1

 

 

 

 

 

 

1

Поскольку исправляющая способность кода t 0 , то этот код используют только для обнаружения ошибок. Поэтому

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

1 (1 2 p)n

 

 

Pн.о.к.к

ni pi (1 p)n i

Cni

pi (1 p)n i

или Pн.о.к.к

 

 

(1 p)n .

(59)

2

 

i dmin

 

 

i 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i чётн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если вероятность ошибки символа в канале p 1 , то, отбросив слагаемые при i 2 ,

получим приближённую формулу

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

C 2 p2

 

n(n 1) p2 ,

 

 

 

(60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н.о.к.к

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

P

 

(n 1) p2

(при переспросе).

 

(61)

 

 

 

 

 

b

 

n

 

н.о.к.к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

135

 

3. Код с повторением:

(n, k) (n,1) . Кодовая комбинация кода получается путём n

кратного повторения информационного символа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c (b , b ,..., b )T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Код

имеет

следующие

параметры:

 

 

 

R

1

,

 

 

,

 

d

 

 

n ,

t (n 1) / 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qo

dmin 1 n 1, код с максимальным расстоянием (т.к. dmin

n k 1).

 

 

 

 

 

 

Если

n – нечётное,

 

то

код

с повторением

 

является совершенным

кодом,

т.е.

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cni 2n k 2n 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

n 1,0 0, 0,..., 0,11 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спектр кода:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот код можно использовать для обнаружения и исправления ошибок:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pдек.к.к 1 Cni pi (1 p)n i

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(62)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pн.о.к.к

ni pi (1 p)n i

pn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i dmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Код Хэмминга:

(n, k) (2r

1, 2r

1 r) ,

 

 

r

– число

проверочных

 

символов

кода.

Кодовая комбинация кода состоит из k информационных и r

проверочных символов:

 

 

 

 

 

c (b ,b ,..., b

,

k

,

k 1

,...,

k r 1

)T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2r 1 r

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Код имеет следующие параметры: R

 

k

 

 

2r 1 r

, 1

k

 

 

r

 

,

d

 

3 , t

1 и

 

 

n

 

 

 

 

2r

 

1

 

n

2r 1

 

qo

dmin 1 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Код Хэмминга – совершенный код, т.к. Cni

 

2n k

1 n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pдек.к.к 1 Cni pi (1 p)n i 1 (1 p)n n p (1 p)n 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

(64)

 

 

 

 

 

i 0

p

p p (1 p)n 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(65)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: код Хэмминга (7,4), r 3 , R

4

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ik

 

0 0 1 0

 

 

 

 

 

 

 

Γ

T

 

1 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

0 0 0 1

, H

 

0 1 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k

 

1 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

136

Кодовые комбинации кода Хэмминга (7,4), их вес, векторы ошибок и синдромы

b

c

(c)

 

eT

sT

0000

0000000

0

 

0000000

000

0001

0001011

3

 

1000000

101

0010

0010110

3

 

0100000

111

0011

0011101

4

 

0010000

110

0100

0100111

4

 

0001000

011

0101

0101100

3

 

0000100

100

0110

0110001

3

 

0000010

010

0111

0111010

4

 

0000001

001

1000

1000101

3

 

 

 

1001

1001110

4

 

 

 

1010

1010011

4

 

 

 

1011

1011000

3

 

 

 

1100

1100010

3

 

 

 

1101

1101001

4

 

 

 

1110

1110100

4

 

 

 

1111

1111111

7

 

 

 

Спектр кода: {ni } 1, 0, 0, 7, 7, 0, 0,1 .

При малой вероятности ошибки символа в канале ( p 1 )

Pдек.к.к 21p2 ,

n

Pн.о.к.к ni pi (1 p)n i 7 p3 ,

i dmin

pb 9 p2 .

По сравнению с примитивным кодом, для которого pb p , у кода Хэмминга вероятность ошибки на бит убывает по квадратичному закону.

137

ЛЕКЦИЯ 18

Другие виды помехоустойчивых кодов. Циклические коды. Итеративные и каскадные коды. Особенности кодирования и декодирования в каналах с памятью. Свёрточные коды. Понятие о декодировании с "мягким" решением.

Циклические коды

Циклические коды представляют собой подкласс линейных блочных кодов. Кодирование и декодирование циклических кодов реализуется с помощью регистров сдвига.

Основной особенностью циклических кодов является то, что циклический сдвиг

кодовой

комбинации

снова

даёт кодовую

комбинацию.

Например,

если

c (c , c , c ,..., c

n 2

, c

)T – кодовая

комбинация

циклического

кода,

то

0

1

2

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c (c

, c , c ,..., c

 

 

, c

 

)T

– другая кодовая комбинация циклического кода.

 

n 1

 

0 1

 

n 3

n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кодовые комбинации циклического (n, k)

кода можно рассматривать как многочлены

или полиномы,

 

которые ограничены по модулю многочлена

xn 1. Коэффициенты этих

многочленов соответствуют символам кодовой комбинации:

 

 

 

 

 

c(x) c

0

c x ... c

n 1

xn 1 mod(xn 1) c

n 1

xn 1

... c x c mod(xn 1) .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(x) c(x) mod(xn 1) .

 

 

(66)

Запись a(x) mod b(x) означает остаток от деления a(x) на b(x) .

 

 

Например,

 

 

 

если

 

коэффициентами

являются

двоичные

символы,

то

(x3 x 1) mod(x 1) 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Взятие остатка от деления на xn 1 задаёт свойство циклического сдвига. Циклический сдвиг на i позиций в полиномиальном представлении соответствует умножению многочлена

на xi и взятию остатка от деления полученного многочлена на xn

1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(x)x

q(x)

c1 (x)

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn 1

 

xn 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c (x) c(x)x q(x)(xn 1) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где q(x)

– частное, c1(x)

– остаток.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например, умножение на x или циклический сдвиг на одну позицию даёт многочлен

 

c (x) c(x)x mod(xn 1) c

xn c

xn 1 ... c x2

c x mod(xn 1)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n 1

 

n 2

1

 

0

 

 

 

 

 

c

(xn 1) c

c

 

xn 1

... c x2

c x mod(xn 1) c

 

xn 1 ... c x2

c x c

n 1

.

 

n 1

n 1

n 2

 

1

0

 

 

n 2

 

1

0

 

 

Порождающий многочлен циклического кода

 

 

 

 

 

 

 

Порождающий многочлен циклического (n, k) кода

 

g(x)

– это многочлен степени

n k , который делит без остатка xn 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xn 1) mod g(x) 0 .

 

 

 

 

 

 

(67)

Любой многочлен

c(x)

является кодовым многочленом циклического кода,

если он

делится без остатка на порождающий многочлен g(x) : c(x) mod g(x) 0 .

 

 

 

 

Кодирование циклическим кодом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Несистематическое кодирование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кодирование циклическим (n, k) кодом многочлена

b(x)

степени

 

k 1 в

несистематической форме описывается выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(x) b(x)g(x) mod(xn 1) ,

 

 

 

 

 

 

(68)

где g(x)

– порождающий многочлен кода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При несистематическом кодировании информационный многочлен в явном виде не содержится в кодовом многочлене.

138

Систематическое кодирование

Систематическое кодирование можно осуществить, если сдвинуть информационные символы в сторону увеличения степеней на n k позиций и к полученному многочлену прибавить многочлен проверочных символов:

c(x) b( x)xn k r(x) mod(xn 1) ,

(69)

где r(x) b( x)xn k mod g(x) – многочлен проверочных символов циклического кода.

При систематическом кодировании k старших коэффициентов кодового многочлена являются информационными символами.

Можно убедиться, что c(x) mod g(x) 0 .

Передача кодового многочлена по дискретному каналу с ошибками

При передаче кодового многочлена c(x) по дискретному каналу с ошибками, на выходе канала будет получен многочлен равный

 

 

 

y(x) c(x) e(x) ,

(70)

где e(x) e

e x ... e

xn 1 – многочлен ошибок, e

– значения ошибок.

0

1

n 1

i

 

Синдромный многочлен

Синдромный многочлен s(x) , который используется при обнаружении и исправлении

ошибок в кодовой комбинации циклического кода, находится по формуле

 

s(x) y(x) mod g(x) ,

(71)

где y(x) c(x) e(x) – принятый кодовый многочлен с ошибками.

 

Свойство синдромного многочлена:

 

s(x) y(x) mod g(x) (c(x) e(x)) mod g(x) e(x) mod g(x) .

(72)

Если при передаче кодовой комбинации ошибок в канале не было, т.е.

e(x) 0 , то

s(x) 0 . При возникновении ошибок s(x) 0 .

 

Реализация операций умножения, деления и взятия остатка на основе регистра сдвига

По аналогии с z преобразованием, для определения текущего коэффициента результата можно использовать следующие правила:

1)c(x) ck ,

2)c(x)x ck 1 ,

 

 

 

 

 

 

n

 

 

3) c(x) a(x)b(x) ck

bi ak i – дискретная свёртка.

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

Умножение многочленов

c(x) a(x)b(x) ,

(73)

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

a(x) a

a x a

x2 ... a xm

– входной многочлен,

 

0

1

2

 

 

m

 

 

 

b(x) b

b x b x2

... b xn

– множитель,

 

0

1

2

 

 

n

 

 

 

c(x) c

c x c x2

... c

m n

xm n

– произведение.

 

0

1

2

 

 

 

 

 

Степень многочлена deg( f (x)) – это наибольшая степень независимой переменной,

при которой коэффициент не равен нулю.

 

При умножении многочленов deg(c(x)) deg(a(x)) deg(b(x)) .

 

Если deg(a(x)) m ,

deg(b(x)) n , то deg(c(x)) deg(a(x)) deg(b(x)) m n .

 

Умножения многочленов реализуется с помощью алгоритма умножения столбиком:

139

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.