Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекции по ТЭС

.pdf

Скачиваний:

112

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

1.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Если принятая комбинация y будет принадлежать нижней части таблицы, где (ei ) t , то у декодера есть два варианта:

1)отказаться от её декодирования и объявить об обнаружении ошибки (алгоритм неполного декодирования);

2)декодировать её в соответствующую кодовую комбинацию, принадлежащую верхней строке (алгоритм полного декодирования).

Если используется полный алгоритм, то декодер исправит все комбинации с t и менее ошибочными символами и часть комбинаций с большим числом ошибочных символов.

Например, для кода (5,2) таблица декодирования будет следующей:

0 0 0 0 0	0 1 1 0 1	1 0 1 1 1	1 1 0 1 0		0 0 0 0	0 1 1 1
1 0 0 0 0	1 1 1 0 1	0 0 1 1 1	0 1 0 1 0		1 0 0 0	1 1 1 1
0 1 0 0 0	0 0 1 0 1	1 1 1 1 1	1 0 0 1 0		0 1 0 0	0 0 1 1
0 0 1 0 0	0 1 0 0 1	1 0 0 1 1	1 1 1 1 0	Пример	0 0 1 0	0 1 0 1
0 0 0 1 0	0 1 1 1 1	1 0 1 0 1	1 1 0 0 0	кода	0 0 0 1	0 1 1 0
0 0 0 0 1	0 1 1 0 0	1 0 1 1 0	1 1 0 1 1	(4,1)	1 0 0 1	1 1 1 0
0 0 1 1 0	0 1 0 1 1	1 0 0 0 1	1 1 1 0 0		1 0 1 0	1 1 0 1
0 0 0 1 1	0 1 1 1 0	1 0 1 0 0	1 1 0 0 1		1 1 0 0	1 0 1 1
Она содержит mn 25		32 комбинации длины n 5 .

Приняв одну из ошибочных комбинаций, декодер по таблице легко декодирует её в ближайшую по Хэммингу кодовую комбинацию. Далее, если код систематический, то декодер отделяет информационные символы и выдаёт их получателю. Если код несистематический, то информационные символы определяются по таблице кодирования.

Синдромное декодирование или декодирование с использованием проверочной матрицы

При большом числе кодовых комбинаций можно значительно сократить таблицу

декодирования, если использовать проверочную матрицу кода	H , с помощью которой
вычисляют синдром:
s HT y .	(37)
Поскольку
y ci e ,	(38)
то синдром s полностью определяется комбинацией ошибок:
s HT y HTci HTe HTe .	(39)

Различные комбинации ошибок определяют различные синдромы. При синдромном декодировании достаточно определить все mn k синдромов.

Например, используя проверочную матрицу кода (5,2),

1	1		1
1	0		1
H 1			0 ,
H 1		0	0 ,
0	1		0
	0
0	0		1

по формуле s HTeˆ вычислим всевозможные синдромы:

ˆ T	(e0 , e1, e2, e3 , e4 )	s	T	(s0 , s1	, s2 )
e	(e0 , e1, e2, e3 , e4 )	s		(s0 , s1	, s2 )
	0 0 0 0 0			0 0 0
	1 0 0 0 0			1 1 1
	0 1 0 0 0			1 0 1
	0 0 1 0 0			1 0 0
	0 0 0 1 0			0 1 0
	0 0 0 0 1			0 0 1
	0 0 1 1 0			1 1 0
	0 0 0 1 1			0 1 1

130

Число различных синдромов равно mn k 25 2 8 .

Чтобы декодировать принятую комбинацию в кодовую комбинацию необходимо:

1)вычислить синдром s ;

2)по таблице синдромов определить соответствующую комбинацию ошибок eˆ ;

3)по формуле

cˆi y eˆ

(40)

находят возможную переданную кодовую комбинацию.

Возможности кода по обнаружению и исправлению ошибок

Режим обнаружения работы декодера используется только для обнаружения ошибок. Предполагается, что при обнаружении ошибок декодер делает переспрос принятой с ошибками кодовой комбинации для её повторного приёма. В режиме исправления ошибок декодер только исправляет ошибки в принятой кодовой комбинации.

Обнаруживающая способность кода определяется как максимальное число

ошибочных символов, которое гарантированно обнаруживается кодом:
qо dmin 1 .	(41)
При этом, число различных комбинаций ошибок, содержащих от 1 до qo ошибочных
qo
символов, равно Cni (m 1)i . В действительности код позволяет обнаружить	mn mk

i 1

различных ошибочных (запрещённых) комбинаций.

Исправляющая способность кода – это максимальное число ошибочных символов, которое гарантированно позволяет исправить код. Если минимальное расстояние кода равно dmin , то исправляющая способность кода равна

			dmin		1
			t			.	(42)
			t	2		.	(42)
	t qo , то			2
Поскольку	t qo , то	t и	менее	ошибочных символов кодом обнаруживается и
исправляется, а	t 1 , t 2	и т.д.	до qo	ошибочных символов будет обнаружено,			но не
исправлено.

Декодирование при стираниях

Демодулятор может быть сконструирован таким образом, что если символ принят неоднозначно (из-за действия помех или из-за кратковременных сбоев), то он объявляет его стёртым символом. Стёртый символ – это дополнительный символ алфавита, положение которого в принятой комбинации точно известно, но неизвестно его значение. Стёртые символы отличаются от ошибочных тем, что у ошибочных символов неизвестно ни положение, ни значение ошибки.

Если минимальное расстояние кода dmin , то любая комбинация из	или меньшего
числа стёртых символов может быть исправлена при условии, что
dmin .	(43)

131

Помехоустойчивость блочных кодов

Помехоустойчивость различных кодов, исправляющих или обнаруживающих ошибки,

характеризуется или оценивается вероятностью ошибки декодирования кодовой комбинации Pдек.к.к , вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации

Pн.о.к.к и вероятностью ошибки на бит pb .

Режим исправления ошибок

Алгоритм неполного декодирования. Если декодер исправляет t и менее ошибочных символов (алгоритм неполного декодирования), то вероятность того, что декодер, анализируя принятую комбинацию с ошибками, вместо переданной выдаст в качестве решения другую кодовую комбинацию (вероятность ошибки декодирования кодовой комбинации), равна

mk 1

Pдек.к.к

1 Pпр.дек

1 P(ci )P d (y, ci ) t | ci

(44)

i 0

Для линейного кода P d (y, ci ) t | ci P (e) t . Тогда

mk 1

Pдек.к.к 1

P(ci ) P (e) t 1 P (e) t .

i 0

В дискретном симметричном канале без памяти

i p

i i

P (e) t Cn (m 1)

(1 p)

Cn p

(1 p)

i 0

m 1

i 0

Pдек.к.к

1 Cni

pi (1 p)n i

Cni

pi (1 p)n i .

(45)

i 0

i t 1

Алгоритм полного декодирования. Если таблица декодирования содержит кроме исправляемых ошибочных комбинаций и обнаруживаемые комбинации, то при полном декодировании все обнаруживаемые комбинации также используются для исправления ошибок. При этом декодер исправит также часть комбинаций с большим, чем t , числом ошибок. В этом случае вероятность ошибочного декодирования можно оценить неравенством

n
Pдек.к.к Cni pi (1 p)n i .	(46)

i t 1

Режим обнаружение ошибок

Если декодер работает в режиме обнаружения ошибок, то вероятность того, что декодер не обнаружит ошибки (вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации)

			n
	Pн.о.к.к		ni	pi (1 p)n i		,		(47)
			i dmin
где ni – спектр кода.			i
			i				и
Например, спектр кода (5,2) равен n				1, 0, 0, 2,1, 0			и
P		2 p3 (1 p)2			p4 (1 p) .			(48)
н.о.к.к
Если спектр кода неизвестен, то оценить сверху вероятность необнаруженной
ошибочной кодовой комбинации можно неравенством (верхняя граница)
			n
	Pн.о.к.к		Cni	pi (1 p)n i .				(49)

i dmin

132

Вероятность ошибки на бит или вероятность ошибки информационного бита после декодирования кодовой комбинации можно оценить по формуле

	m / 2	n	t i
pb				Cni	pi (1 p)n i .	(50)

	m 1 i t 1		n

При малых вероятностях ошибки символа в канале ( p 1 ), наибольший вклад в вероятность ошибки будет вносить первое слагаемое суммы, поэтому

pb dmin Pдек.к.к .

Вероятность ошибки на бит pb рассчитывается в предположении, что информации без избыточности или когда энтропия источника H (A) log2 m .

(51)

источник

Границы для минимального расстояния кодов

Границы минимального расстояния используются для доказательства существования и оценки эффективности помехоустойчивых кодов.

Граница Хэмминга. Для любого блочного m-ичного (n, k) кода, исправляющего t ошибочных символов или имеющего dmin 2t 1 , число проверочных символов должно быть равным

	t	i	i	(52)
r n k logm	Cn (m 1)		.	(52)
i 0
Это условие следует из неравенства
t
mn k Cni (m 1)i .				(53)
i 0
Если при заданных n , k и t выполняется строгое равенство, то				код называется

совершенным кодом. Совершенный код исправляет все t и менее ошибочных символов и не исправляет ни одной комбинации с большим числом ошибочных символов. Например, двоичный ( m 2 ) код Хэмминга (7, 4) , исправляющий одиночные ошибки ( t 1), является совершенным кодом.

Граница Синглтона. Минимальное расстояние по Хэммингу линейного блочного

(n, k) кода удовлетворяет неравенству
dmin		n k 1.						(54)
Если выполняется равенство, то такой код называют кодом с максимальным
расстоянием. Для кода с максимальным расстоянием
dmin n k 1 2t 1 .								(55)
Т.е. для исправления ошибочного символа достаточно двух проверочных символов
(один определяет положение ошибочного символа, а второй значение ошибки).
Пример 1: для кода (5,2) dmin 4 . Действительное значение dmin 3 .
Пример 2: для кода Хэмминга (7,4) dmin				4 . Действительное значение dmin				3 .
Примером кода с максимальным расстоянием является код Рида–Соломона.
Граница Плоткина. Минимальное расстояние dmin двоичного (n, k)								кода должно
удовлетворять неравенству			2k 1

d	min				n .			(56)
			2k
				1
Пример 1: для кода (5,2) dmin 10 / 3 3,333 . Действительное значение dmin								3 .
Пример 2: для кода Хэмминга		(7,4)		dmin		56	3, 733 . Действительное значение

				15

dmin 3 .

133

Граница Плоткина более точная для низкоскоростных кодов, когда скорость кода Rc k / n мала. Границы Синглтона и Плоткина грубые, но вычисляются проще, чем граница Хэмминга.

134

ЛЕКЦИЯ 17

Линейные систематические коды. Код с проверкой на чётность. Коды Хэмминга. Порождающая и проверочная матрицы. Алгоритмы кодирования и декодирования. Их реализация на примере кода (7,4).

Простые двоичные линейные блочные коды

1. Примитивный код. Примитивное кодирование используется для согласования алфавитов источника и канала. Например, для передачи текста по каналу связи посредством сигналов двухпозиционной модуляции, каждую букву на передаче необходимо представить в виде последовательности двоичных символов.

Параметры примитивного кода: (n, k) (n, n) , Rc 1, dmin 1, t qo 0 , спектр кода ni Cni , i 0,1,..., n . Код не способен обнаруживать и исправлять ошибки.

Вероятность ошибки декодирования кодовой комбинации, вероятность необнаруженной ошибочной кодовой комбинации и вероятность ошибки на бит равны

	n	n
Pдек.к.к Pн.о.к.к	ni	pi (1 p)n i Cni pi (1 p)n i 1 (1 p)n ,	(57)
	i dmin	i 1

pb p .

Если вероятность ошибки символа в канале p 1 , то

Pдек.к.к Pн.о.к.к n p .

(58)

2.Код с проверкой на чётность: (n, k) (n, n 1) (k 1, k ) . Кодовая комбинация кода

спроверкой на чётность получается путём добавления к k информационным символам одного проверочного символа, равного сумме по модулю 2 всех информационных символов:

c (b0 ,b1 ,..., bk 1, k )T , где k b0 b1 ... bk 1 .

Код имеет следующие параметры:

n 1

, d

2 ,

t (d

1) / 2 0 ,

min

qo dmin 1 1, код с максимальным расстоянием (т.к. dmin

n k 1).

Спектр кода: n 0 при i –нечётное, n

при i –чётное:

ni 1, 0,Cn2 , 0,Cn4 ,..., Cn4 , 0,Cn2 , 0,1 .

Порождающая и проверочная матрицы кода равны:

		1	0		.. 0						1
	Ik	0	1		.. 0				Γ	T	1
	Ik								Γ
G	Γ	..		.. .. ..			, H	In		k	1 .
		0		0	..	1					..

			1
		1	1		.. 1						1

Поскольку исправляющая способность кода t 0 , то этот код используют только для обнаружения ошибок. Поэтому

1 (1 2 p)n

Pн.о.к.к

ni pi (1 p)n i

Cni

pi (1 p)n i

или Pн.о.к.к

(1 p)n .

(59)

i dmin

i 0,

i чётн

Если вероятность ошибки символа в канале p 1 , то, отбросив слагаемые при i 2 ,

получим приближённую формулу

C 2 p2

n(n 1) p2 ,

(60)

н.о.к.к

dmin

(n 1) p2

(при переспросе).

(61)

н.о.к.к

135

3. Код с повторением:

(n, k) (n,1) . Кодовая комбинация кода получается путём n

кратного повторения информационного символа:

c (b , b ,..., b )T .

n 1

Код

имеет

следующие

параметры:

n ,

t (n 1) / 2 ,

min

dmin 1 n 1, код с максимальным расстоянием (т.к. dmin

n k 1).

Если

n – нечётное,

то

код

с повторением

является совершенным

кодом,

т.е.

Cni 2n k 2n 1 .

i 0

n 1,0 0, 0,..., 0,11 .

Спектр кода:

Этот код можно использовать для обнаружения и исправления ошибок:

Pдек.к.к 1 Cni pi (1 p)n i

(62)

i 0

Pн.о.к.к

ni pi (1 p)n i

pn .

(63)

i dmin

4. Код Хэмминга:

(n, k) (2r

1, 2r

1 r) ,

– число

проверочных

символов

кода.

Кодовая комбинация кода состоит из k информационных и r

проверочных символов:

c (b ,b ,..., b

k 1

,...,

k r 1

)T .

0 1

k 1

k 2r 1 r

Код имеет следующие параметры: R

2r 1 r

, 1

3 , t

1 и

2r 1

dmin 1 2 .

min

Код Хэмминга – совершенный код, т.к. Cni

2n k

1 n .

i 0

Pдек.к.к 1 Cni pi (1 p)n i 1 (1 p)n n p (1 p)n 1 ,

(64)

i 0

p p (1 p)n 1 .

(65)

Пример: код Хэмминга (7,4), r 3 , R

1 0 0 0

1 0 1

0 1 0 0

1 1 1

0 0 1 0

1 1 0

0 0 0 1

, H

0 1 1 .

1 1 1 0

n k

1 0 0

0 1 1 1

0 1 0

1 1 0 1

0 0 1

136

Кодовые комбинации кода Хэмминга (7,4), их вес, векторы ошибок и синдромы

b	c	(c)	eT	sT
0000	0000000	0	0000000	000
0001	0001011	3	1000000	101
0010	0010110	3	0100000	111
0011	0011101	4	0010000	110
0100	0100111	4	0001000	011
0101	0101100	3	0000100	100
0110	0110001	3	0000010	010
0111	0111010	4	0000001	001
1000	1000101	3
1001	1001110	4
1010	1010011	4
1011	1011000	3
1100	1100010	3
1101	1101001	4
1110	1110100	4
1111	1111111	7

Спектр кода: {ni } 1, 0, 0, 7, 7, 0, 0,1 .

При малой вероятности ошибки символа в канале ( p 1 )

Pдек.к.к 21p2 ,

Pн.о.к.к ni pi (1 p)n i 7 p3 ,

i dmin

pb 9 p2 .

По сравнению с примитивным кодом, для которого pb p , у кода Хэмминга вероятность ошибки на бит убывает по квадратичному закону.

137

ЛЕКЦИЯ 18

Другие виды помехоустойчивых кодов. Циклические коды. Итеративные и каскадные коды. Особенности кодирования и декодирования в каналах с памятью. Свёрточные коды. Понятие о декодировании с "мягким" решением.

Циклические коды

Циклические коды представляют собой подкласс линейных блочных кодов. Кодирование и декодирование циклических кодов реализуется с помощью регистров сдвига.

Основной особенностью циклических кодов является то, что циклический сдвиг

кодовой

комбинации

снова

даёт кодовую

комбинацию.

Например,

если

c (c , c , c ,..., c

n 2

, c

)T – кодовая

комбинация

циклического

кода,

то

n 1

c (c

, c , c ,..., c

, c

– другая кодовая комбинация циклического кода.

n 1

0 1

n 3

n 2

Кодовые комбинации циклического (n, k)

кода можно рассматривать как многочлены

или полиномы,

которые ограничены по модулю многочлена

xn 1. Коэффициенты этих

многочленов соответствуют символам кодовой комбинации:

c(x) c

c x ... c

n 1

xn 1 mod(xn 1) c

n 1

xn 1

... c x c mod(xn 1) .

или

c(x) c(x) mod(xn 1) .

(66)

Запись a(x) mod b(x) означает остаток от деления a(x) на b(x) .

Например,

если

коэффициентами

являются

двоичные

символы,

то

(x3 x 1) mod(x 1) 1 .

Взятие остатка от деления на xn 1 задаёт свойство циклического сдвига. Циклический сдвиг на i позиций в полиномиальном представлении соответствует умножению многочлена

на xi и взятию остатка от деления полученного многочлена на xn

c(x)x

q(x)

c1 (x)

xn 1

c (x) c(x)x q(x)(xn 1) ,

где q(x)

– частное, c1(x)

– остаток.

Например, умножение на x или циклический сдвиг на одну позицию даёт многочлен

c (x) c(x)x mod(xn 1) c

xn c

xn 1 ... c x2

c x mod(xn 1)

n 1

n 2

(xn 1) c

xn 1

... c x2

c x mod(xn 1) c

xn 1 ... c x2

c x c

n 1

n 2

Порождающий многочлен циклического кода

Порождающий многочлен циклического (n, k) кода

g(x)

– это многочлен степени

n k , который делит без остатка xn 1:

(xn 1) mod g(x) 0 .

(67)

Любой многочлен

c(x)

является кодовым многочленом циклического кода,

если он

делится без остатка на порождающий многочлен g(x) : c(x) mod g(x) 0 .

Кодирование циклическим кодом

Несистематическое кодирование

Кодирование циклическим (n, k) кодом многочлена

b(x)

степени

k 1 в

несистематической форме описывается выражением

c(x) b(x)g(x) mod(xn 1) ,

(68)

где g(x)

– порождающий многочлен кода.

При несистематическом кодировании информационный многочлен в явном виде не содержится в кодовом многочлене.

138

Систематическое кодирование

Систематическое кодирование можно осуществить, если сдвинуть информационные символы в сторону увеличения степеней на n k позиций и к полученному многочлену прибавить многочлен проверочных символов:

c(x) b( x)xn k r(x) mod(xn 1) ,

(69)

где r(x) b( x)xn k mod g(x) – многочлен проверочных символов циклического кода.

При систематическом кодировании k старших коэффициентов кодового многочлена являются информационными символами.

Можно убедиться, что c(x) mod g(x) 0 .

Передача кодового многочлена по дискретному каналу с ошибками

При передаче кодового многочлена c(x) по дискретному каналу с ошибками, на выходе канала будет получен многочлен равный

			y(x) c(x) e(x) ,	(70)
где e(x) e	e x ... e		xn 1 – многочлен ошибок, e	– значения ошибок.
0	1	n 1	i

Синдромный многочлен

Синдромный многочлен s(x) , который используется при обнаружении и исправлении

ошибок в кодовой комбинации циклического кода, находится по формуле
s(x) y(x) mod g(x) ,	(71)
где y(x) c(x) e(x) – принятый кодовый многочлен с ошибками.
Свойство синдромного многочлена:
s(x) y(x) mod g(x) (c(x) e(x)) mod g(x) e(x) mod g(x) .	(72)
Если при передаче кодовой комбинации ошибок в канале не было, т.е.	e(x) 0 , то
s(x) 0 . При возникновении ошибок s(x) 0 .

Реализация операций умножения, деления и взятия остатка на основе регистра сдвига

По аналогии с z преобразованием, для определения текущего коэффициента результата можно использовать следующие правила:

1)c(x) ck ,

2)c(x)x ck 1 ,

						n
3) c(x) a(x)b(x) ck						bi ak i – дискретная свёртка.
						i 0
Умножение многочленов							c(x) a(x)b(x) ,	(73)
							c(x) a(x)b(x) ,	(73)
где
a(x) a	a x a		x2 ... a xm				– входной многочлен,
0	1	2			m
b(x) b	b x b x2			... b xn			– множитель,
0	1	2			n
c(x) c	c x c x2			... c	m n	xm n	– произведение.
0	1	2			m n
Степень многочлена deg( f (x)) – это наибольшая степень независимой переменной,
при которой коэффициент не равен нулю.
При умножении многочленов deg(c(x)) deg(a(x)) deg(b(x)) .
Если deg(a(x)) m ,					deg(b(x)) n , то deg(c(x)) deg(a(x)) deg(b(x)) m n .

Умножения многочленов реализуется с помощью алгоритма умножения столбиком:

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1514 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.201810.04 Mб47Книга ЭВМ.docx
#
10.06.2015222.21 Кб21ком. мен. лекции.doc
#
25.09.2019279.55 Кб19Команды общего назначения.doc
#
17.04.2019147.46 Кб18Компенс ст рег.doc
#
29.03.20161.46 Mб64Конспект Введение в спец. .pdf
#
10.06.20151.85 Mб112Конспект лекции по ТЭС.pdf
#
21.12.20182.42 Mб59Конспект лекций И-М.doc
#
10.06.2015900.61 Кб177Конспект лекций по дисц.ОИК. Часть 4..doc
#
29.03.20163.66 Mб322Конспект лекций по КГ.doc
#
10.06.20151.09 Mб76Конспект лекций по рекламе в ком. процессе..doc
#
10.06.20151.65 Mб32Конспект лекций по УК.docx