ТЭЦ Лекции

71

/102

Индуктивные и ёмкостные сопротивления для k-ой гармоники определяются как:

X Lk = k ω L , X Ck

=

1

, где ω =

2 π

– частота основной гармоники.

kωC

T

Комплексное сопротивление для k-ой гармоники последовательной RLC-цепи определяется как:

Z k = R + Z Lk + Z Ck

= R + j X Lk − j X Ck

= R + jk ω L − j

1

.

k ωC

1

2

k wL-

1

j×arctg

k wC

В показательной форме: Z k =

R2

+ kω L −

e

R = Zk ejjk

,

k ωC

где Zk –

полное сопротивление цепи для k-й гармоники, ϕk –

фазовый сдвиг между входным

током и напряжением цепи для k-й гармоники.

Пусть к последовательной RLC-цепи приложено периодическое негармоническое

напряжение: u (t ) = U0 + Um1 cos (ωt + ψ1 ) + Um3 cos (3ωt + ψ3 ) .

Определим ток в цепи для нулевой гармоники: I0

=

U0

= 0 .

Z0

Определим ток в цепи для первой гармоники: I 1 =

Um1 ejy1

=

Um1

ej(y1 -j1 ) , то есть

Z ejj1

Z

1

1

Um1

2

1

2

i1 (t ) =

cos (ωt + ψ1 − ϕ1 ) , где Z1 =

R

+ ω L −

– полное сопротивление цепи для первой

Z

ωC

1

ω L −

1

гармоники, ϕ

= arctg

ωC

–

фазовый сдвиг для первой гармоники.

1

R

Определим ток в цепи для третьей гармоники: I 3 =

Um3 ejy3

=

Um3

ej(y3 -j3 ) , то есть

Z3 ejj3

Z3

i3 (t ) =

U

m3

cos (3ωt + ψ3 − ϕ3 ) , где Z3 =

1

2

R2 +

3ω L −

– полное сопротивление цепи для

Z3

3ωC

3ω L −

1

ωC

третьей гармоники, ϕ = arctg

3

– фазовый сдвиг для третьей гармоники.

3

R

Согласно принципу суперпозиции определим результирующий ток в цепи:

i (t ) = I

0

+ i (t )

+ i

(t ) =

Um1

cos (ωt + ψ − ϕ ) +

Um3

cos

(3ωt + ψ

3

− ϕ ) .

1

3

Z1

1

1

Z3

3

Действующее значение тока определяется как: I =

1

U

2

+

U

2

m1

m3

.

2

2

2

Z1

Z3

− tи

0

tи

t

2

tи

2

T

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

k

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

k p

> 0 и при k = 0,

0,

если

sin

N

k p

p,

если

sin

< 0 и при k > 0,

jk

N

N = 2 .

=

k p

-p,

если

sin

< 0 и при k < 0,

N

k p

= 0, k ¹ 0

неопределено, если sin

N

π

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

k

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

−π

Вывод: амплитудный спектр является чётной, а фазовый –

нечётной функцией частоты.

Переходные процессы. Законы коммутации, начальные и конечные условия.

t→∞

C

Классический метод расчёта переходных процессов

Сущность метода состоит в составлении и решении дифференциальных уравнений для

мгновенных значений токов и напряжений на основании законов Кирхгофа.

a

×

d n f

+ a

×

d n-1 f

+ + a ×

df

+ a = s (t ) , – неоднородное дифференциальное уравнение (НДУ)

dt

dt

dt

n

n-1

1

0

где a0 , …, an

–

коэффициенты, определяющие параметры цепи, f

(t )

– реакция цепи,

s (t ) – приложенное внешнее воздействие от источника.

Решение данного уравнения ищется в виде суммы общего

fсв (t )

и частного fпр (t )

решений:

f (t ) = fсв (t ) + fпр (t ) .

fсв (t )

–

свободная составляющая, определяется из

однородного

дифференциального

уравнения (ОДУ) вида:

a

×

d n fсв

+ a

n-1

×

d n-1 fсв

+ + a ×

dfсв

+ a = 0 .

n

dt

dt

1

dt

0

fпр (t )

–

принуждённая

составляющая,

определяется

методами

расчёта

цепей в

установившемся режиме при t → ∞ .

По виду ОДУ получим характеристическое уравнение,

осуществив замену:

d

® p , где p

dt

Характеристическое уравнение: a

n

× pn + a

n-1

× pn-1 + + a × p + a = 0 .

1

0

Пусть pk –

корни характеристического уравнения, при этом:

1.

Если p

–

вещественные и различные корни, то

f

св

(t ) = A ×e p1 ×t + A ×e p2 ×t + + A ×e pn ×t .

k

1

2

n

2.

Если pk

–

вещественные и равные корни, то

fсв (t ) = ( A1 + A2 ×t + A3 ×t2 + + An ×t n-1 )×e p×t .

3.

Если p

–

комплексно-сопряжённые корни, то f

св

(t ) = A ×e-s×t

×sin (w

св

×t + y) , где A – начальная

k

Ri

(t ) + u

(t ) = E , поскольку u

(t ) = L

diL (t )

, то Ri

(t ) + L

diL (t )

= E – НДУ, его решение ищем

L

L

L

dt

L

dt

R

E

К.З.

Индуктивность заменяем перемычкой. На основании закона Ома: i

(t ) = lim i

(t ) = E

– конечное

Lпр

t →∞ L

R

R + Lp = 0 , откуда p = −

R

= −

1

[c−1], где τL =

L

[c] –

постоянная RL-цепи.

τL

L

R

(t ) =

−

R

t

Поскольку

корень характеристического

уравнения

вещественный, то

i

Ae pt = Ae L –

Lсв

свободная составляющая переходного тока.

VI этап.

Общий

вид

переходного

тока

в

индуктивности

определяется

в

виде:

(t ) = i

(t ) + i

(t ) = Ae−

R

E

i

t

+

.

L

L

Lсв

Lпр

R

VII этап.

(0) = 0 . i (0) = 0 = Ae−

R

0 +

E

, откуда A = −

E

Определим const A , используя начальное условие i

L

.

L

L

R

R

VIII этап.

Подставим const в общий вид переходного тока, тогда

iL (t ) = −

E

−

R

t

E

E

−

R

t

e L

+

=

1− e L

–

окончательное решение