Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТЭЦ Лекции

.pdf
Скачиваний:
67
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
2.64 Mб
Скачать

11 /102

 

 

u

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cэкв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cэкв = Cn .

 

(26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

4. Смешанное соединение резистивных элементов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uR

 

 

 

 

 

Rэкв

 

 

= R +

R2 R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

.

 

(27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

экв

1

 

 

R2 + R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразование из «звезды» в «треугольник» и обратно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

r1

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r12

 

 

 

 

 

 

r31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для сопротивлений из «звезды» в «треугольник» r

 

= r + r

+

r1r2

; r

 

= r

+ r

+

r2 r3

; r

= r

+ r +

r3r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

1

 

 

 

 

2

23

2

3

31

3

1

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

Для проводимостей из «звезды» в «треугольник»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g12

=

 

 

 

g1 g2

 

 

; g23 =

 

 

 

 

 

g2 g3

 

 

; g31

=

 

 

g3 g1

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1

+ g2

 

 

 

 

 

 

g1 + g2 + g3

g1

+ g2 + g3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ g3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для сопротивлений из «треугольника» в «звезду»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1 =

 

 

 

 

r12 r31

 

 

 

; r2 =

 

 

 

r23r12

 

; r3

=

 

r31r23

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r12 + r23 + r31

r12

+ r23 + r31

r12

+ r23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ r31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для проводимостей из «треугольника» в «звезду»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g = g + g

31

+

g12 g31

; g

2

 

= g + g

23

+

g12 g23

; g

3

= g

23

+ g

31

+

g23 g31

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

12

 

 

 

 

 

 

 

g23

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

g31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принцип наложения. Теорема замещения. Теорема взаимности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На этом принципе основан метод суперпозиции (наложения) анализа электрических цепей.

Напряжения и токи источников электрической

энергии

 

 

воздействия,

а напряжения и токи

в отдельных ветвях цепи –

реакции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принцип

 

наложения

 

можно

 

 

сформулировать

следующим

 

образом: реакция

линейной

электрической цепи (ЛЭЦ) на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.

 

N

 

 

 

 

 

 

N

 

 

i = in ,

 

 

 

 

u = un .

(28)

 

n=1

 

 

 

 

 

 

n=1

 

Теорема замещения: любую ветвь ЛЭЦ с напряжением u и током i можно заменить

источником напряжения с Eист = u и источником тока с Jист = i .

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

i

 

ЛЭЦ u

ЛЭЦ u

 

ЛЭЦ

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

Eист

 

 

 

Jист

 

 

 

 

 

 

Теорема взаимности: если источник напряжения, включённый в некоторую ветвь ЛЭЦ, составленной из пассивных двухполюсников, вызывает в другой ветви этой цепи некоторый ток, то тот же источник напряжения, будучи перенесён в эту вторую ветвь, вызовет в первой ветви прежний ток.

12 /102

1

 

i 2

1 i

2

 

 

 

 

пассивная

 

 

 

 

 

 

 

пассивная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цепь

 

 

 

 

 

 

 

цепь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eист

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eист

 

 

1

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

2

1

 

2

1

2

 

 

 

 

пассивная

 

 

u

 

 

u

пассивная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jист

 

 

 

цепь

 

 

 

 

 

 

 

цепь

 

Jист

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

2

Теорема об активном двухполюснике. Теорема Тевенина-Гельмгольца. Теорема Майера-Нортона.

Леон Шарль Тевенин

Герман Людвиг

Эдвард Нортон (Edward

Ганс Фердинанд Майер

(Léon Charles Thévenin),

Фердинанд Гельмгольц

Lawry Norton), 1898-1983,

(Hans Ferdinand Mayer),

1857-1926, французский

(Hermann von Helmholtz),

американский учёный и

1895-1980, немецкий

телеграфный инженер

1821-1894, немецкий

инженер

математик и физик

 

физик, физиолог и

 

 

 

психолог

 

 

Теорема об активном двухполюснике используется в случае, когда надо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, удобно рассматривать в виде двухполюсника. Активный двухполюсник – содержит источники электрической энергии, в противном случае двухполюсник пассивный.

Различают две модификации теоремы об активном двухполюснике:

Теорема об эквивалентном источнике напряжения (Теорема Тевенина-Гельмгольца): ток в любой ветви ЛЭЦ не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения (ЭДС) с напряжением (ЭДС), равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением источника, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

А

 

 

 

 

 

Rист

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rэкв=Rист

А

 

Uхх=Eист

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема об эквивалентном источнике тока (Теорема Майера-Нортона): ток в любой ветви ЛЭЦ не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.

13 /102

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

А

 

R

 

Gист

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jист

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gэкв=Gист

А

 

Iк.з.=Jист

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Связь между эквивалентными источниками напряжения и тока выражается соотношениями:

E

= J

 

R

, J

 

= G

E

, G =

1

.

(29)

ист

ист

 

ист

 

ист

 

ист

ист

ист

Rист

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принцип дуальности. Теорема Телледжена. Баланс мощности.

Бернард Телледжен

(Bernard D.H. Tellegen) 1900-1990, голландский инженер

Принцип дуальности: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи. Приведем дуальные понятия:

1.Напряжение и ток (u и i)

2.Сопротивление и проводимость (R и G)

3.Индуктивность и ёмкость (L и C)

4.I и II законы Кирхгофа

5.Последовательное и параллельное соединения.

Теорема Телледжена: сумма произведений напряжений и токов всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю.

Nв

 

 

un in = 0 .

 

(30)

n=1

 

 

Баланс мощности: для любой замкнутой электрической цепи сумма

мощностей Pист ,

развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей

Pпот , расходуемой

в приёмниках энергии.

 

 

Pист = Pпот , или (Ek Ik + UJk

Jk ) = Ik2 Rk .

(31)

k

k

 

E I + UJ J = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 , где UJ = E + I2 R2 .

R1 I1

 

 

E

R3 I3

 

 

 

 

I

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

R4

 

 

UJ

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

 

 

 

I4

 

 

 

 

 

 

14 /102

Метод токов ветвей и метод контурных токов (МТВ и МКТ).

Метод токов ветвей (МТВ) основан на законах Кирхгофа. Число уравнений по МТВ равно

количеству неизвестных токов ветвей и определяется как:

 

Nмтв = Nв NJ .

(32)

Количество уравнений, составляемых по I закону Кирхгофа, равно:

 

NI = Nуз −1.

(33)

Количество уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа, равно:

 

NII = Nв Nуз +1− NJ .

(34)

При составлении уравнений по II закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры,

не содержащие источников тока.

 

Метод контурных токов (МКТ) позволяет уменьшить количество уравнений до числа:

 

Nмкт = Nв Nуз +1− NJ .

(35)

Ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви.

Выбирают и обозначают известные и неизвестные контурные токи.

Известные контурные токи – эти токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока, и они являются заданными по условию задачи.

Неизвестные контурные токи определяются по II закону Кирхгофа и для них составляется система уравнений в виде:

R11 I11 + R12 I22 ++ R1k Ikk ++ Jn Rn = E11; 1

R21 I11 + R22 I22 ++ R2k Ikk ++ Jn Rn = E22 ;

2

(36)

 

Rk1 I11 + Rk 2 I22 ++ Rkk Ikk ++ Jn Rn = Ekk ;

n

 

где Rkk – собственное сопротивление контура k; Rkm

общее сопротивление контуров k и m,

причём, если направление контурных токов в общей ветви для контуров k и m совпадают, то

Rkm > 0 ,

в противном случае

Rkm < 0 ; Ekk

алгебраическая сумма ЭДС, включённых в ветви,

образующие контур k; Rn

общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим

источник тока.

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J11

 

 

 

 

J

I22

 

I4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I11 , I22

неизвестные контурные токи;

R3 UJ

 

 

R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J11 = J

известный контурный ток;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1 , I3 , I4

– неизвестные токи в ветвях, которые определяются через контурные токи в виде:

I1 = −I11, I3 = J11 I22 , I4 = I22 .

Nмкт = Nв Nуз +1− NJ = 6 − 4 +1−1 = 2

Система уравнений для контурных токов:

Nмун

15 /102

R11 I11 + R12 I22 + R J = E11, 1

R21 I11 + R22 I22 + R J = E22 , 2

где R11 = R1, R12 = R21 = 0, R22 = R3 + R4 , RJ = 0, RJ = −R3 J11, E11 = E1 + E2 , E22 = −E1 E2 .

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Перепишем уравнения в компактном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1 I11 = E1 + E2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( R3 + R4 ) I22 R3 J11 = −E1 E2 .

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = −I = −

E1 + E2

(А), I

3

= J

11

I

22

=

J R4 + E1 + E2

(А), I

4

= I

22

=

R3 J E1 E2

(А).

 

 

 

1

11

R1

 

 

 

 

R3 + R4

 

 

R3

+ R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод узловых напряжений (МУН).

Метод узловых напряжений (МУН) позволяет уменьшить количество уравнений до числа:

Nмун = Nуз −1− NЕ .

(37)

Сущность метода: определяются потенциалы всех узлов, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома по формуле (17). При составлении уравнений по МУН вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов оставшихся узлов составляется система уравнений вида:

V1 G11 V2 G12 Vs G1s Vn G1n = E G + J ;

 

1

1

 

 

 

V1 G21 + V2 G22 Vs G2 s Vn G2n = E G + J ;

(38)

 

 

2

2

 

 

 

 

V1 Gn1 V2 Gn 2 Vs Gns + Vn Gnn = E G + J ;

 

 

 

n

n

 

Здесь Gss

– сумма проводимостей ветвей, присоединенных

к узлу s; Gsq

сумма

проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q.

 

E×G

алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу s, на их

s

проводимости; при этом со знаком "+" берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла, и со знаком "–" – в направлении от узла; J – алгебраическая сумма токов источников тока,

s

присоединённых к узлу s; при этом со знаком "+" берутся те токи, которые направлены к узлу s, а со знаком "–" – в направлении от узла s.

I1 R1

2

 

 

E1 4

 

 

 

E2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

UJ

 

 

 

 

 

 

 

I4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

R4

 

 

 

1

Определим количество уравнений по МУН:

= Nуз −1− NЕ = 4 −1− 2 = 1

За базисный принимаем узел 4, из чего следует:

16 /102

V4 = 0 –

 

потенциал узла 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V2 = E1

 

потенциал узла 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V3 = −E2

 

потенциал узла 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим уравнение вида (38) для определения V1 :

 

 

 

 

V1 G11 V2 G12 V3 G13 = E G + J .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим неизвестные коэффициенты нашего уравнения:

 

G =

1

+

1

– проводимость ветвей, присоединённых к узлу 1;

 

 

11

 

R3

 

 

R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

=

1

 

проводимость ветви, заключённой между узлами 1 и 2;

 

12

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

=

1

 

проводимость ветви, заключённой между узлами 1 и 3;

 

 

13

 

R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E G = 0 , поскольку нет ветвей с ЭДС, примыкающих к узлу 1;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J = −J , поскольку ток источника тока направлен от узла;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки всех величин получаем уравнение в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

+

 

E1

 

+ E2

 

 

= −J .

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

R3

R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R4

 

 

Из последнего уравнения определяем неизвестный потенциал V1

(единица измерения – вольт).

На следующем этапе определяем с помощью законов Ома неизвестные токи в ветвях:

I =

V3 V2

=

E2 E1

(А), I

3

=

V2 V1

(А), I

4

=

V3 V1

(А).

 

 

 

 

1

R1

 

R1

 

R3

 

R4

 

 

 

 

 

 

Расчёт токов ветвей методом узловых напряжений с помощью матричных

уравнений

Пример 1. На рисунке изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

U6

 

 

 

I4

 

 

U4

U1

 

 

E1

 

 

 

 

 

I6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UE1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r4

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

r6

 

 

 

 

 

U2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

r2

 

 

E2

 

2

 

 

 

 

r5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

I5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

UE2

 

 

 

U5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

E3

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UE3

 

 

 

 

 

U3

 

ЭДС источников E1 = 6 В, E2 = 12 В и E3 = 18 В ; сопротивления ветвей: r1 = r2 = r3 = 2 Ом и r4 = r5 = r6 = 6 Ом . Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи в ветвях.

Решение. Пусть потенциал узла 0 равен нулю. Запишем уравнения с потенциалами ϕ1 , ϕ2 и ϕ3 :

( g1 + g2 + g3 )ϕ1 g2ϕ2 g3ϕ3 = −E1 g1 E2 g2 E3 g3 ;

g2ϕ1 + ( g2 + g5 + g6 )ϕ2 g5ϕ3 = E2 g2 ;

g3ϕ1 g5ϕ2 + ( g3 + g4 + g5 )ϕ3 = E3 g3 ,

17 /102

или после подстановки числовых значений проводимостей и ЭДС

3

ϕ −

1

ϕ

 

1

ϕ

 

= −18;

1

ϕ +

5

ϕ

 

1

ϕ

 

= 6;

1

ϕ −

1

ϕ

 

+

5

ϕ

 

= 9.

2

2

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

1

 

2

2

 

3

 

2

1

 

2

6

 

3

 

2

1

 

2

6

 

3

 

Решая совместно эти уравнения, находим искомые потенциалы: ϕ1 = −9 В ; ϕ2 = 3 В ; ϕ3 = 6 В . Для

определения токов в ветвях следует задаться из положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов

I1 = (ϕ0 − ϕ1 E1 ) g1 = 1, 5 А ; I2 = (ϕ1 − ϕ2 + E2 ) g2 = 0 А ; I3 = (ϕ1 − ϕ3 + E3 ) g3 = 1, 5 А ; I4 = (ϕ3 − ϕ0 ) g4 = 1 А ; I5 = (ϕ3 − ϕ2 ) g5 = 0, 5 А ; I6 = (ϕ2 − ϕ0 ) g6 = 0, 5 А .

Матричные уравнения узловых потенциалов.

Уравнения узловых потенциалов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g11ϕ1 g12ϕ2 g1 p ϕ p g1 y ϕy = J1 + E1 j g1 j = Jc1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j¹1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ2 g2 p ϕ p g2 y ϕy

= J2 + E2 j g2 j = Jc 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g21ϕ1 + g22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ¹2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g p1ϕ1 g p 2ϕ2 + g pp ϕ p g py ϕy = J p + Epj g pj = Jcp ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ¹ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g y1ϕ1 g y 2ϕ2 g yp ϕp + g yy ϕy

= J y + Eyj g yj = Jcy ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j ¹ y

можно записать в матричной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g( y )ϕ = Jc ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

где

 

g12

g1y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g( y ) =

g21

g22

g2 y

 

 

 

квадратная матрица проводимостей схемы;

 

 

 

… …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g y1

g y 2

g yy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ1

 

 

 

 

 

Jc1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ =

ϕ

 

=

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

и Jc

 

 

 

c2

– матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец токов источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕy

 

 

 

 

 

Jcy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тока

в

узлах, где

 

 

 

(по

общей формуле для любого узла p при ϕy+1 = 0 :

 

 

 

y+1

 

 

 

 

 

y +1

 

 

 

 

g pp ϕ p g pj ϕ j =J p +Epj g pj =Jcp )

 

 

 

 

 

 

j =1

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

j ¹ p

 

 

 

 

 

j¹ p

 

 

 

 

Jci = Ji

+ Eij gij ;

при этом

алгебраическое суммирование, выполняемое с учётом знаков,

распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединённые к i-му узлу.

Умножая уравнение (1) на

 

 

 

g( y )

 

 

 

-1

, получим выражение для определения потенциалов узлов

 

 

 

 

схемы в виде ϕ =

 

 

 

g( y )

 

 

 

-1

Jc , где

 

 

 

g( y )

 

 

 

-1

 

матрица, обратная матрице

 

 

 

g( y)

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрицу узловых проводимостей цепи можно составить непосредственно по соответствующей схеме, применяя формулу

18 /102

g( y ) = Agd AT ,

(2)

где A – матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или её ориентированного графа; gd – диагональная матрица проводимостей ветвей; AT – транспонированная матрица

соединения узловых проводимостей ветвей схемы или её ориентированного графа.

Матрица A составляется следующим образом: столбцы матрицы соответствуют ветвям схемы, а её строки – узлам; на пересечении строки и столбца записывается ±1 или 0 (пробел) в зависимости от того, присоединена данная ветвь к соответствующему узлу или нет; положительный знак записывается в том случае, когда ветвь направлена от узла, а отрицательный

– к узлу; при этом направление ветви обычно совмещается с положительным направлением тока в ней.

Для иллюстрации применения формулы (2) рассмотрим вышеприведённую схему, для которой построим ориентированный граф.

0

U4

U1

U6

1

U2

U5

3

 

 

 

 

2

U3

 

 

 

Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для неё можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трёх

 

−1

1

1

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

строк и шести столбцов: A =

0

−1

0

0

−1

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

−1

1

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1

0

 

 

0

 

 

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

g2

0

 

 

0

 

0

0

 

 

 

 

Диагональная матрица проводимостей ветвей g

 

=

1

 

равна:

g

 

=

 

0

0

 

 

g3

0

 

0

0

 

 

 

.

k

 

 

 

 

 

d

 

0

0

 

 

0

 

 

g4

 

0

0

 

 

 

 

rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

0

 

 

0

 

g5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

0

 

 

0

 

0

g6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1

 

 

g2

 

 

g3

0

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведение матриц A и gd равно: Agd

=

 

0

 

g2

0

0

 

 

g5

g6

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

g3

g4

 

 

g5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица узловых проводимостей цепи получается после перемножения матриц Ag

d

и AT :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g1

 

g2

g3

 

 

 

 

0

0

 

0

 

1

−1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g( y ) = Agd AT =

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

g2

 

0

 

 

 

 

 

0 −g5

 

g6

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

g3

 

 

 

g4

g5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

−1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

/102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица-столбец потенциалов узлов ϕ =

ϕ2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матрица-столбец источников тока Jc

=

 

E1 g1 E2 g2 E3 g3

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E2 g2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E3 g3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь выражением

(1), легко получить систему уравнений, приведённую в примере 1.

 

Если матрицу A дополнить

четвёртой строкой, соответствующей узлу 0, то по формуле

(2)

 

 

получится неопределённая матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов

 

по всем четырём строкам и четырём столбцам равна нулю; определитель такой матрицы тоже

 

равен нулю. После вычёркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца,

 

например четвёртой строки и четвёртого столбца, получается определённая квадратная матрица

 

третьего порядка. Определитель такой матрицы симметричен относительно главной диагонали.

 

Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается

 

определённая квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако

 

определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали. Если

 

принять равным нулю потенциал того же узла схемы , который соответствует вычеркнутой строке

 

матрицы A, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по

 

формуле Uв = AT ϕ , где положительное

направление Uв совпадает

с положительным

 

направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на

 

каждой ветви. Например, для вышеприведённой схемы

 

 

 

 

−ϕ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1

 

 

 

−1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U2

 

 

 

1

 

−1

0

 

 

 

 

ϕ1

 

ϕ1 − ϕ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U3

 

 

 

1 0 −1

 

 

 

 

 

ϕ1 − ϕ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

ϕ2

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

U4

 

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

ϕ3

 

 

 

 

 

ϕ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U5

 

 

 

0

 

−1

1

 

 

 

 

 

−ϕ2 + ϕ3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U6

 

 

 

0

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ2

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого выражения следует: U1 = −ϕ1 ; U2

= ϕ1 − ϕ2 ; U3 = ϕ1 − ϕ3 ; U4 = ϕ3 ; U5

= ϕ3 − ϕ2 ; U6 = ϕ2 .

 

Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, пер. М., «Энергия», 1975. 752 с. Стр. 41-44.

 

Расчёт токов ветвей методом контурных токов с помощью матричных уравнений

Уравнения контурных токов

r11I1 + r12 I2 ++ r1l Il ++ r1k Ik = E1;

r I + r I

++ r I

++ r I

= E ;

21 1

22 2

2l l

2k k

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

……………………………………………

r I + r

I

++ r I

++ r I

= E ;

l1 1

l 2

 

2

ll l

 

lk k

 

l

……………………………………………

 

+ r

I

++ r I

++ r I

 

= E ;

r I

 

k1 1

k 2

2

kl l

kk k

k

с учётом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ rlj I j

= El + rlj Jlj = Ecl ,

 

 

 

 

rlj Il

 

 

 

 

j

 

j

j

 

 

 

 

 

 

j¹l

 

 

 

 

обозначают собственное сопротивление контура l;

где

rlj

 

j

 

 

 

 

 

 

rlj – общее сопротивление двух контуров l и j;

Jlj – ток источника тока, замыкающийся по сопротивлению rlj , можно записать в матричной форме:

20 /102

r(k )Ι(k ) = Ε(ck )

(3)

где r(k ) – квадратная матрица контурных сопротивлений; Ι(k ) – матрица-столбец контурных токов;

Ε(ck ) – матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники ЭДС и эквивалентные ЭДС от источников тока.

После умножения уравнения (3) слева на r(k ) −1 получим:

Ι(k ) = r(k ) −1 Ε(ck ) .

Матрицу контурных сопротивлений r(k ) можно получить непосредственно по схеме при помощи матрицы соединения контурных сопротивлений B :

 

r(k ) = Br BT ,

 

(4)

 

 

d

 

 

 

где rd

– диагональная матрица сопротивлений ветвей;

 

 

 

BT

транспонированная матрица соединения контурных сопротивлений.

 

Матрица соединения контурных сопротивлений B составляется так, что её строки

соответствуют независимым контурам, а столбцы – ветвям.

На пересечении строки и столбца

записывается ±1 или 0 (пробел) в зависимости от того, входит или не входит данная ветвь в соответствующий контур; положительный знак принимается в том случае, если направление ветви совпадает с направлением обхода контура, а отрицательный знак – если не совпадает. При этом направление обхода каждого контура принимается совпадающим с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направления ветвей – с положительными направлениями токов в ветвях.

Для получения независимых контуров следует сначала выбрать дерево схемы, что в свою очередь определяет ветви связи, а следовательно, и контурные токи. Для составления дерева схемы выбирается узел (в котором, желательно, соединяется максимальное число ветвей), а затем выбираются все остальные ветви, так, чтобы не было замкнутых контуров, но чтобы в итоге соединить все узлы.

Для иллюстрации на рисунке приведена схема с выбранным деревом из четвёртой, пятой и шестой ветвей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

I2

 

 

 

 

r1

 

 

I5

r2

 

 

 

UE1

 

 

I

 

 

r5

 

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

 

r4

 

 

 

r6

UE2

 

 

 

 

 

E4

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I4

4

 

I6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UE4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

E3

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UE3

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае независимые контуры

содержат

контурные токи I1 , I2 и I3 , что

соответствует первой, второй и третьей ветвям связи.

Для вышеприведённой схемы построим ориентированный граф.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.