Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТЭЦ Лекции

.pdf
Скачиваний:
67
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
2.64 Mб
Скачать

21 /102

 

 

2

 

 

 

I

 

I

 

 

 

 

 

I

 

 

I

I

 

1

I

 

3

4

I

 

 

I

 

 

 

 

 

I

 

Деревья графа показаны сплошными линиями, а ветви связи – пунктирными. Матрица соединения контурных сопротивлений B состоит из трёх строк и шести столбцов:

 

1

0

0

1

1

0

B =

0

1

0

0

−1

1

 

0

0

1

−1

0

−1

 

 

 

 

 

 

 

Диагональная матрица сопротивлений

 

 

r1

0

0

0

0

0

 

 

0

r2

0

0

0

0

rd

=

0

0

r3

0

0

0

0

0

0

r4

0

0

 

 

0 0 0 0 r5 0

0 0 0 0 0 r6

Произведение матриц B и rd равно:

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

0

0

 

 

 

 

r4

r5

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Brd =

0 r2

0 0 −r5

r6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 r3

r4

0 −r6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратная матрица контурных сопротивлений определяется по формуле

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r(k ) = Br BT =

 

r1

0

0 r4

r5

0

 

 

 

 

 

0

1

0

0 0 1

 

(r1

+ r4 + r5 )

r5

 

)

r4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 r

0 0 −r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

r

 

(r + r + r

r

.

d

 

 

2

 

5

6

 

 

 

 

 

1

0

−1

 

 

 

5

2

5

6

 

6

 

 

 

0 0 r3 r4

0 −r6

 

 

 

 

 

 

 

 

r4

 

 

r6

 

 

(r3 + r4 + r6 )

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

−1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица-столбец контурных токов I(k )

 

=

 

 

I1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица-столбец контурных ЭДС E(k )

 

 

 

 

 

 

E1 E4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

E

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E3 + E4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь уравнением (3), матрицами r(k ) , I(k ) и E(ck ) , получим уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

/102

 

(r1 + r4 + r5 ) I1 r5 I2 r4 I3 = E1 E4 ;

 

 

r I +

(r + r + r

) I

2

r I

3

= −E

;

 

 

5

1

 

2

6

5

 

6

 

2

 

 

 

 

 

 

 

+ (r3 + r4 + r6 ) I3 = E3 + E4 .

 

r4 I1 r6 I2

 

Матрица токов ветвей Iв легко определяется через матрицу контурных токов Ι(k ) по

 

формуле

 

 

 

 

 

Iв = BTI(k ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вышеприведённой схемы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

0

 

1

 

0

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

=

 

 

 

0

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

1

 

0

 

−1

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

1

−1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

0

 

1

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого матричного уравнения сразу получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

I= I; I= I; I= I; I= II; I= II; I= II.

Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, пер. М., «Энергия», 1975. 752 с. Стр. 52-55.

Метод эквивалентного генератора.

Данный метод основан на теореме об активном двухполюснике. Применение данного метода целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Пусть дана схема в виде:

 

R1

 

R2 I

E2 E3 I

R3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

J

 

 

 

 

 

R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим ток I3 методом эквивалентного генератора. Этапы решения задачи.

1. Разрываем цепь в указанном нами участке. Находим Uxx по второму закону Кирхгофа, для этого рассматриваем контур I в следующей схеме:

 

R1

 

R2

E2

 

 

 

 

 

 

Iх

 

J4

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J4

 

R4

 

U

хх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

Uxx + Ix R4 = 0,

Uxx = −Ix R4 .

2. Находим Ix по методу контурных токов, для этого рассматриваем контур с током Ix с учётом влияния источника тока J4 .

Ix (R1 + R2 + R4 ) + J4 R1 = E2 E1 .

Откуда определяем Ix = E2 E1 J4 R1 .

R1 + R2 + R4

Соответственно напряжение холостого хода Uxx = Eист .

23 /102

3. Определяем сопротивление эквивалентного источника, которое должно быть равно внутреннему сопротивлению пассивизированной активной цепи. Ветви, где были включены источники тока, заменяются разрывом, а ветви с ЭДС – перемычкой. В зависимости от вида соединения сопротивлений составляем формулу для расчёта эквивалентного сопротивления,

которое равно сопротивлению на источнике Rэкв = Rист .

 

 

R = ( R1 + R2 ) R4 .

 

 

ист

R1 + R2

+ R4

R1

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R4

 

 

Rист

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Находим ток в нагрузке Iн = I3 . Строим эквивалентную схему замещения, учитывая то, что мы,

разрывая цепь, исключили источник напряжения E3

и сопротивления R3 и R , следовательно, мы

не учли их влияние на нашу цепь, поэтому в данной схеме мы должны включить их в цепь.

Rист E3

 

 

 

 

Eист

Iн

Rн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Eист + E3

 

 

 

I

 

, где R = R + R .

н

Rист + Rн

 

 

 

 

н

3

 

 

 

 

 

 

 

Метод наложения (суперпозиции).

Данный метод используется, когда действуют несколько источников напряжения и тока. При этом находят частичные токи (напряжения), а результирующие реакции определяются путём алгебраического суммирования частичных токов (напряжений).

Определить ток I3

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

1

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

E

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

I

 

I

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

I’’

 

I’’

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E1

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3’’

 

 

 

 

E

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ′ = I

 

R2

 

 

 

, где I ′ =

 

 

E1

 

; I ′′ = I ′′

 

 

R1

 

 

, где I ′′ =

 

E2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 R3

 

 

 

 

 

 

 

R1 R3

 

3 1 R

+ R

1

 

R1 +

3 2

R + R

 

2

R2 +

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 + R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1 + R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно принципу суперпозиции результирующий ток I

3

определяется как: I

3

= I

+ I ′′ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

Гармонические колебания. Основные понятия и определения.

Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону синуса или косинуса. Графически гармоническое колебание можно представить в виде:

i(t)

T

Im

 

ϕi

t

 

ω

 

24 /102

u(t)

T

Um

 

ϕu

t

 

ω

 

где Im ,

Um амплитуды тока и напряжения: максимальны по абсолютному значению;

 

T = 1 f

период: промежуток времени, по истечении которого

значения i (t )

или u (t )

повторяются; ω = 2 π f угловая частота [рад/сек], f циклическая частота [Гц];

 

ϕi , ϕu

начальные фазы тока и напряжения.

 

 

Аналитически гармонический ток можно представить в виде:

 

 

 

i (t ) = Im sin (ωt + ϕi ) = Im sin Ψi (t ) , либо i (t ) = Im cos (ωt + ϕi

) = Im cos Ψi (t ) ,

(39)

где Ψi (t ) = ωt + ϕi текущая фаза тока.

 

 

Аналогично для гармонического напряжения:

 

 

 

u (t )=Um sin (ωt + ϕu )=Um sinΨu (t ) , либо u (t ) = Um cos (ωt + ϕu ) = Um cos Ψu (t ) ,

(40)

где Ψu (t ) = ωt + ϕu

текущая фаза напряжения. Из соотношений (39) и (40) следует: ω =

d Ψi, u

.

 

 

 

dt

Действующее (среднеквадратичное) значение гармонического тока и напряжения:

T

I = 1 i2 (t ) dt , U = T 0

T

1 u2 (t ) dt . (41)

T 0

Подставив (39) и (40) в (41), получим: I =

I

m

 

, U =

U

m

 

.

(42)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

Среднее значение гармонического тока и напряжения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

T

1

T

 

 

 

 

< I >=

i (t ) dt , < U >=

u (t ) dt .

 

 

 

(43)

T

T

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Способы представления гармонических колебаний.

Гармонические колебания представляют в виде:

1.временных диаграмм;

2.векторных диаграмм;

3.комплексных чисел;

4.амплитудных и фазовых спектров;

Временное представление наглядно, но затруднительно при решении задач. Более удобно векторное представление, при котором каждому колебанию ставится в соответствие вращающийся вектор определённой длины с заданной начальной фазой.

Пусть имеем колебания токов: i1 (t ) = Im1 sin (ωt + ϕi1 ) и i2 (t ) = Im2 sin (ωt + ϕi2 ) . Определим

сумму этих токов: i3 (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = Im3 sin (ωt + ϕi3 ) , где Im3 = Im12 + Im2 2 + 2 Im1 Im 2 cos (ϕi 2 − ϕi1 ) ,

ϕ = arctg Im1 sin ϕi1 + Im2 sin ϕi2 .

i3

Im1 cos ϕi1

+ Im 2 cos ϕi2

 

Последние соотношения определяются из геометрии рисунка:

25 /102

 

b

Im3

 

 

 

 

 

 

Im2

 

 

 

 

ω

 

 

Im1

 

 

 

 

 

ϕi2ϕi1

ϕi3

 

a

 

 

 

 

 

 

 

ϕi = ϕi 2 − ϕi1 – фазовый сдвиг между колебаниями токов i1

и i2 .

Векторной диаграммой называют совокупность векторов, изображающих гармонические колебания в электрической цепи. Векторные диаграммы строят для амплитудных или действующих значений.

Представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел лежат в основе символического метода расчёта электрических цепей (метод комплексных амплитуд).

 

i (t ) = I

 

sin (ωt + ϕ ) I

 

= I

 

ejji – комплексная амплитуда, где j =

 

.

 

 

 

 

m

m

m

−1

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i (t ) = I

m

sin

(ωt + ϕ )

I = I e j ji

комплексное действующее значение, причём I =

I

m

.

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I m = Im ejji ,

I = I e jji

– запись в показательной форме. Существует запись в алгебраической

форме, для этого используем формулу Эйлера: ej x = cos ( x) + jsin ( x) .

I m = Im cos (ϕi ) + j Im sin (ϕi ) = a + jb , где a = Im cos (ϕi ) , b = Im sin (ϕi )

Решим предыдущую задачу с помощью символического метода:

i (t ) = I

m1

sin (ωt + ϕ

) I

1

= I

1

ejji1

= I cos (ϕ

) + j I

sin (ϕ

i1

) ,

1

 

 

i1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

i1

 

 

1

 

 

 

i (t ) = I

m 2

sin (ωt + ϕ

i2

)

I

2

= I

2

ejji 2

= I

2

cos (ϕ

 

) + j I

sin (ϕ

 

) .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i2

 

 

1

i2

 

Суммарный ток определяем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 3 = I1 + I 2

= (I1 cos (ϕi1 ) + I2 cos (ϕi2 )) + j(I1 sin (ϕi1 ) + I2 sin (ϕi 2 )) .

Последнее выражение

представлено

 

в алгебраической

форме,

его необходимо перевести

в показательную, используя соотношение: a + jb =

 

 

 

 

 

 

 

ej×arctg

b

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

+ b2

 

 

. Таким образом: I 3 = I3 e jji3 .

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3 =

 

 

(I1 cos (ϕi1 ) + I2 cos (ϕi 2 ))2 + (I1 sin (ϕi1 ) + I2 sin (ϕi2 ))2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

= arctg

I1 sin ϕi1 + I2 sin ϕi 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i3

 

 

 

I1 cos ϕi1 + I2 cos ϕi2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные комплексы токов удобно представить в виде векторной диаграммы на

комплексной плоскости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im

 

 

Im3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕi3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕi3

 

 

 

 

 

ϕi2ϕi1

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

ϕi2ϕi1

 

 

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и ёмкостных элементах.

Пусть к резистивному элементу приложено гармоническое напряжение:

u (t ) = Um sin (ωt + ϕu ) .

(44)

Согласно закону Ома через резистор протекает гармонический ток:

26 /102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i (t ) =

u (t )

 

=

Um

sin (ωt + ϕu ) = Im sin (ωt + ϕi ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(45)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

Um

 

b

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t)

 

R

 

 

 

 

 

 

 

ϕi=ϕu

 

 

ϕi=ϕu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

a 0

 

 

a

 

 

 

Um

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (45) I

m

=

и I =

, ϕ

u

= ϕ – начальные фазы напряжения и тока равны!

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введём понятие фазового сдвига между входным напряжением и током, протекающим в цепи:

 

 

 

 

ϕ = ϕu − ϕi .

 

 

 

 

 

 

 

(46)

Вывод: в резистивном элементе фазовый сдвиг между напряжением и током равен нулю!

 

Пусть в индуктивном элементе протекает ток: i (t ) = Im sin (ωt + ϕi ) .

 

 

 

 

Учитывая связь между током и напряжением на индуктивности, получаем:

 

 

 

u (t ) = L

d i

= I

 

ω L cos (ωt + ϕ ) = I

 

ω L sin

 

ωt + ϕ +

π = U

 

sin (ωt + ϕ

 

) .

(47)

 

m

m

 

m

u

 

d t

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Из (47)

Um = Im ω L = Im X L и U = I ω L = I X L , где

X L = ω L – сопротивление на индуктивности,

B =

1

=

1

– проводимость на индуктивности; ϕ

 

= ϕ + π

, откуда фазовый сдвиг определяется

 

ωL

u

L

X L

 

 

i

2

 

 

 

 

 

 

 

как: ϕ = ϕu − ϕi = π . 2

Вывод: в индуктивности фазовый сдвиг между напряжением и током равен 90° !

i(t)

Um

b

 

 

b

ϕ

 

U

ϕ

u(t)

 

Im

 

ϕu

I

L

ϕu

 

 

 

ϕi

 

 

ϕi

 

 

 

 

 

 

0

a

0

a

Пусть напряжение вида (44) приложено к ёмкостному элементу, тогда

 

 

 

 

 

 

 

i (t ) = C

d u

= U

 

C ωcos (ωt + ϕ

) = U

 

C ωsin

 

ωt + ϕ

 

+

π

= I

 

sin (ωt + ϕ ) .

(48)

 

 

 

 

 

 

 

m

m

 

u

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

u

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Из

(48)

Im = Um ωC = Um BC и

I = U ωC = U BC ,

 

где

 

BC = ωC

проводимость на

ёмкости,

X

 

=

1

=

1

– сопротивление на ёмкости; ϕ = ϕ

 

+ π , откуда фазовый сдвиг определяется как:

C

 

ωC

u

 

 

 

BC

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = ϕ

u

− ϕ = − π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод: в ёмкости фазовый сдвиг между напряжением и током равен –90 ° !

27 /102

 

 

 

 

 

 

i(t)

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

Im

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕi

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕi

 

 

 

 

 

 

 

u(t)

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕu

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

U

 

 

 

0

 

 

 

ϕu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

U

 

 

 

Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении R, L, C

элементов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в последовательной RLC-цепи протекает ток i (t ) = Im sin (ωt + ϕi ) . Согласно II закону

Кирхгофа u (t ) = uR (t ) + uL (t ) + uC

(t ) = i (t ) R + L d i + 1

i (t ) d t . Подставим ток в явном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (t ) = I

m

R sin (ωt + ϕ ) + I

m

ω L sin

ωt + ϕ

+ π

+ I

m

1

 

sin ωt + ϕ

u

π .

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

Запишем выражение в более компактном виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (t ) = UmR sin (ωt + ϕR ) + UmL sin (ωt + ϕL ) + UmC sin (ωt + ϕC ) , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UmR = Im R , UmL = Im ω L = Im X L , UmC = Im ωC

= Im X C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

uR

= ϕ , ϕ

uL

= ϕ + π , ϕ

uC

= ϕ − π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

2

 

 

i

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uR(t)

 

i(t)

 

 

 

 

 

b

 

Um

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ump

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t)

 

 

L uL(t)

 

 

 

 

 

 

UmR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕi

 

Im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uC(t)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ump = UmL UmC = Im ( X L X C ) = Im X

реактивная составляющая напряжения,

 

 

X = X L X C

= ω L

1

реактивное сопротивление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z =

R2 + X 2

=

R2 + ( X L X C )

2

=

 

 

 

 

 

1

2

полное сопротивление цепи.

 

R2 + ω L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для удобного анализа последовательной RLC-цепи используют треугольник сопротивлений.

Z

ϕ X

R

 

 

 

X L X C

 

ω L

1

 

ϕ = arctg

X

= arctg

= arctg

ωC

.

 

R

 

R

 

 

 

R

 

 

ϕ > 0 – индуктивный характер цепи.

28 /102

ϕ< 0 – ёмкостный характер цепи.

ϕ= 0 – резонанс напряжений.

При резонансе напряжений полное сопротивление последовательной RLC-цепи равно резистивному! Определим частоту, на которой происходит явление резонанса из условия:

ω0 L

1

= 0 , откуда ω0

=

 

1

 

[рад/c],

f0 =

 

1

 

[Гц].

ω0 C

 

 

 

2 π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L C

 

 

L C

Резонанс – это явление, когда фазовый сдвиг между входным напряжением и током равен нулю!

Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении R, L, C элементов.

i(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

iG(t

)

iL(t)

 

 

iC(t)

 

 

u(t)

 

G

L

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно I закону Кирхгофа: i (t ) = iG (t ) + iL (t ) + iC (t ) Напряжение на входе цепи: u (t ) = Um sin (ωt + ϕu )

Поскольку: i (t ) = G u (t ) + C

d u

+

1

u (t ) dt , то после подстановки имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i (t ) = GUm sin (ωt + ϕu ) + ωC Um sin

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

ωt + ϕu +

 

 

+

 

 

 

 

 

Um sin

ωt + ϕu

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ω L

 

 

 

 

 

 

 

 

Введём обозначения: I

= GU

 

, I

 

= ωC U

 

 

= B U

 

 

, I

=

1

U

 

= B U

,

 

 

 

 

 

 

 

 

mG

 

 

 

m

 

mC

 

 

 

 

m

 

C

 

 

m

mL

 

ω L

m

 

 

L

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = ϕ

u

, ϕ = ϕ

u

+ π , ϕ = ϕ

u

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

iG

 

 

 

iC

 

2

 

 

iL

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Треугольник проводимостей

b

Im

 

Um

 

Imp

 

 

ϕu

ϕ<0

 

Y

ImG

ϕ<0 B

 

0

 

a

G

 

 

Imp = ImC ImL = ( BC BL )Um = BUm – реактивная составляющая тока.

B = B B = ωC

1

 

 

реактивная проводимость. Y =

 

 

 

 

 

 

G2 + B2

– полная проводимость.

ω L

C L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωC

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = −arctg

B

= −arctg

ω L

– фазовый сдвиг между входным напряжением и током цепи.

 

 

 

 

 

 

 

G

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При ϕ = 0 наступает резонанс токов Y = G . Определим резонансную частоту из условия:

 

 

ω0 C

1

 

= 0 , отсюда ω0 =

 

1

 

[рад/c], f0 =

1

 

[Гц].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω0 L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L C

2 π L C

29 /102

Закон Ома в комплексной форме для элементов R, L и C.

Символический метод расчёта (СМР) позволяет тригонометрические и геометрические операции свести к алгебраическим операциям над комплексными числами. Это упрощает расчёт.

i (t ) = Im ej(ωt i ) = Im ei et = I m et , u (t ) = Um ej(ωt u ) = Um eu et =

U

m et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где I m = Im ei

, U m = Um eu

 

 

 

комплексные амплитуды тока и напряжения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

 

Im

 

e

i

, U =

Um

e

u

– комплексные действующие значения тока и напряжения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем закон Ома в комплексной форме для элементов R, L и C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Для резистивного элемента:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (t ) = R ×i (t )

или i (t ) = G ×u (t ) , то U m = R × I m , I m = G ×U m или U = R × I ,

I = G ×

U

.

 

 

 

 

2. Для индуктивного элемента:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (t ) = L

d i

= jw L I m

et или i (t ) =

1

 

 

u (t ) dt =

 

 

1

 

U m et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

jw L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U m = jw L I m = Z L I m ,

 

I m

=

 

1

 

U m = Y L U m , или U = jw L I = Z L I ,

I =

 

 

1

 

 

U

= Y L U .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jw L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jw L

Z L = jw L

 

комплексное сопротивление индуктивности (алгебраическая форма).

 

 

 

 

 

 

 

= w L ej

π

 

= X L ej

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z L

2

 

 

2

комплексное сопротивление индуктивности (показательная форма).

Y L

=

1

 

 

 

 

комплексная проводимость индуктивности (алгебраическая форма).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jw L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

=

 

e− j

2 = B e− j 2

 

 

комплексная проводимость индуктивности (показательная форма).

 

 

 

 

L

 

w L

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из последних соотношений видно:

 

 

Z L

 

= X L ,

 

Y L

 

= BL .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для ёмкостного элемента:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i (t )

= C

 

 

 

= jwC U m

et или u (t ) =

 

 

i (t ) dt =

 

 

 

I m et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

C

 

j wC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, U

 

=

 

 

1

 

 

 

 

I

 

 

= Z

 

 

I

 

, или I = jwC U = Y

 

U , U =

1

 

 

 

I = Z

 

I .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

C

m

C

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

Y C = jwC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jwC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jwC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

комплексная проводимость на ёмкости (алгебраическая форма).

 

 

 

 

 

 

 

 

Y C

Z C

Z C

= wC ej

π

= B ej

π

 

 

2

2

комплексная проводимость ёмкости (показательная форма).

 

 

 

 

 

C

 

 

 

=

1

 

 

комплексное сопротивление ёмкости (алгебраическая форма).

jwC

 

 

 

 

 

 

 

1

e− j

π

 

− j

π

=

2 = X C e

2 – комплексное сопротивление ёмкости (показательная форма).

 

 

 

wC

 

 

 

 

 

Из последних соотношений видно: Z C = X C , Y C = BC .

Анализ последовательно соединенных RL, RC, RLC элементов символическим методом расчёта.

Анализ последовательной RL-цепи.

комплексная схема замещения

30 /102

 

R

i(t)

 

R

 

I

u(t)

 

L

U

 

 

ZL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании II закона Кирхгофа в комплексной форме:

U = U R + U L = R I + Z L I = (R + jω L) I = Z I , где Z – полное комплексное сопротивление цепи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j×arctg wL

 

 

 

 

 

 

 

Z = R + jω L =

 

 

R2 + (ω L)2

 

e

Z

ejjz , где

 

 

 

 

 

 

 

R =

 

Z

 

– модуль комплексного сопротивления, ϕz

аргумент комплексного сопротивления.

 

ϕ = ϕz

= arctg ω L = arctg

X L

фазовый сдвиг между входным напряжением и током.

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

UL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I Re

 

 

 

 

 

0

 

 

UR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из диаграммы видно, что фазовый сдвиг между напряжением и током больше нуля. Вывод: цепь носит индуктивный характер

Анализ последовательной RС-цепи.

комплексная схема замещения

 

 

 

 

 

 

 

R

i(t)

 

 

 

 

 

R

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

ZC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании II закона Кирхгофа в комплексной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- j×arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

U

R + U C = R I + Z C

I = R +

 

 

 

 

 

 

I

= Z I , где Z = R − j

 

 

 

=

 

R2 +

 

 

 

e

 

R wC =

Z

ejjz .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

C

 

 

 

ωC

 

 

 

ωC

 

 

 

 

 

 

 

ϕ = ϕz = −arctg

 

= −arctg

X C

фазовый сдвиг между входным напряжением и током.

 

 

 

 

 

 

R ωC

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Im UR I Re

0 ϕ

UC

U

Из диаграммы видно, что фазовый сдвиг между напряжением и током меньше нуля. Вывод: цепь носит ёмкостный характер

Анализ последовательной RLС-цепи.

комплексная схема замещения

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.