Условия уравнения равновесия Пространственные системы произвольно расположенных сил.

Чтобы такая система находилась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю главный вектор и главный момент системы:

= 0

= 0

Они могут быть нулями, если каждое из слагаемых в подкоренном выражении равно нулю. Заменим проекции равнодействующей на оси на суммы проекций составляющих на те же координатные оси (по соответствующей теореме о проекции равнодействующей).

К заданию №4.Эта задача на тему «Пространственная система сил». При ее изучении необходимо вспомнить: какая сила может образовать вращательный момент относительно оси, а какая – нет. Рассмотрим осьZ. Проведем направление некоторой силыF₁относительно этой оси. Точно определить направление силы по рисунку на плоскости мы не можем, но, зная ее проекцию на перпендикулярную плоскость, определим значениеМ_z(F₁) = F_lnd₁.Знак момента такой же, как и при определении момента пары сил. (Если проекция на перпендикулярную плоскость стремится вращать плоскость, к которой проложена против часовой стрелки, то знак момента (+), если по часовой стрелке, то (-). Рассмотрим рисунок 1. Если сила параллельна оси, лежит на оси или пересекает ее под любым углом, то вращательного момента относительно этой она не образует.

F₂

М_z(F₁) =O

M_z (F₂) =O

M_z (F₃) =O

Задача №4решается по шести уравнениям равновесия:

Рассмотрим аналогичную №4 задачу. Определить реакции подшипников в точках А и В.

Решение:

Подшипники имеют по две взаимно перпендикулярные реакции по осям координат Х_а,Y_а и Х_в,Y_в. Изобразим эти реакции на рисунке пространственно нагруженного вала. Полученная система представляет собой пространственную систему произвольно расположенных сил. Составим и решим указанные выше шесть равновесия, а для этого проведем три оси координат через точку А, спроецируем все силы на эти оси. необходимо помнить, что если сила и ось перекрещиваются в пространстве, то проецироваться на эту ось сила не может:

Решим эти уравнения, найдем реакции подшипников и момент на валу М, определим полные реакции подшипников по теореме Пифагора:

Методика выполнения обязательной работы по теоретической механике (1).

Пример №1. Определить реакции стержней АС и ВС, изображенных на рисунке:

Решение:

1. Найдем объект равновесия, им является узел С, т.к. в нем пересекаются линии действия всех сил.

2. Освободим узел С от связей и заменим их действие реакциями Rа,Rв.

3. На стержневую систему действует уравновешенная система сил, значит к ней можно применить уравнения равновесия для плоской системы сходящих сил.

4. Проведем оси координат таким образом, чтобы одна из неизвестных реакций лежала на оси.

5. Чтобы составить эти уравнения, надо спроецировать все силы на оси Х и У, а потом их просуммировать и приравнять к нулю:

6. Решим составленные уравнения относительно неизвестных реакций:

R_B = -F₁Cos30⁰-F₂Cos60⁰ = -10*0,866 – 20*0,5 = 18,66 (Н)

R_A = F₂Cos30⁰-F₁Cos60⁰ – 20*0,866-5 = 12,32 (Н)

7. Если реакция получилось знаком минус, то ее действительное направление противоположно выбранному.

8. Чтобы проверить правильность решения, надо спроектировать все силы на ось Uи составить независимое уравнение.

R_BCos60⁰+F₂-R_ACos30⁰=0 0=0

Пример 2. Определить реакции жесткой заделки консольной балки.

F₁= 30 кН

F₂= 40 кН

g= 10кН/м

ВС = 2м

СD= 2м

М = 18 кнм

АС = АД = 1м

7. Из полученных уравнений находим неизвестные реакции:

Х_В=20 кН

Y_В=24,64 кН

М_В=-86,56 кнм

1. Сделаем проверку по независимому уравнению:

М_с=0 -Y_В*ВС+QМ_В-М-F₂СDSin60⁰+F₁AC=0

-24,64*2+20*1+80,56-18-40*2*0,866+30*1=0

0=0

Пример №3.Определим реакции опор двухопорной балки, нагруженной как показано на рисунке:

F=30Кн

g=10кн/м

M=20кН

Q=g*AC=10*1?5=15кН

а=1,5м

в=2м

1. Отбросим подвижный и неподвижный шарниры и заменим их действия реакциями и изобразим расчетную схему:

В

2. Заменим равномерно распределенную нагрузку сосредоточенной силой:

Q=g* AC=15кн

3. Заданная балка находится в равновесии под действием внешних сил и внутренних сил (сил) реакции). К ней можно применить уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил.

Пример №4.Определить реакции жесткой заделки консольной балки

а=2 м

в=3 м

g=4 кн/м

M=12 кнм

F₁=10 кн

F₂=14 кн

Q=g*d=12 кн

1. Отбросим имеющуюся связь и заменим ее действие на балку реакциями Х_В иY_Ви М_В.

2. Заменим равномерно распределенную нагрузку сосредоточенной силой.

3. Задания балка находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил (сил реакций) поэтому к этой системе можно применить уравнения равновесия для плоской системы произвольно расположенных сил(одну из 3-х форм)

4. Наша цель при решении этой задачи составить и решить 3 уравнения с тремя неизвестными реакциями.

5. Спроецируем все силы на оси координат Х и У. Определим моменты всех сил относительно точки А и полученные данные занесем в таблицу:

Таблица вычислений №1

На гр.	Проекции на Х	Проекции на У	Моменты отн. Т.В.
ХВ	ХВ	0	0
YВ	0	YB	0
МВ	0	0	-Mg
Q	0	-Q	Q(+a)
F1	0	-F1	F1BA
F2	F2Cos600	-F2Cos 300	-F2BAC Cos300
M	0	0	-M

6. Просуммировать второй столбец таблицы со своими и приравняем эту сумму к нулю. Аналогично составляется второе и третье уравнение:

7. из полученных уравнений находим неизвестные реакции:

Х_В = 7ry

Y_В = 10,124 кн

М_В = -80,62 кнм

8. Сделаем проверку по независимому уравнению:

М_А=0 -Y_BAB-M_B-M-Q=-10,124*5+80,62-12-12*5=0

-50,62+80,62=30=0

-80,62+80,62=0

0=0

Пример №5.Определим реакции опор двухопорной балки, нагруженной как показано на рисунке:

g= 2 кн/м

М = 10кнм

а = 1,5 м

в = 2м

1. Отбросим подвижный и неподвижный шарниры и заменим их действия реакциями:

M

2. Заменим равномерно распределенную нагрузку сосредоточенной силой

Q=g* в = 2 кн/м*2м = 4кн

3. Заданная балка находится в равновесии под действием внешних сил и внутренних сил (сил реакции). К ней можно применить уравнения равновесия для плоской системы параллельных сил:

М_А(F_к) =0

М_В(F_к) = 0

4.Составим суммы моментов всех сил относительно точек опоры:

5. Решим два уравнения с двумя неизвестными и определим реакции опор:

6. Проверим правильность решения, составив сумму проекций всех сил на ось Y:

F_ку=0

-F₁Y_A-Q+Y_B=0

- 6+12,57-4-2,57 =0

0=0

К задаче №5.

Задача по разделу «Кинематика» решается на основании полученных знаний по этому разделу:

Траектория-это невидимая линия, по которой движется материальная точка.

Пройденный путь-это векторная величина, всегда направленная в сторону движения.

Расстояние-это скалярная величина, равная отрезку прямой между начальным и конечным положением материальной точки.

Средняя скорость- величина пройденного пути промежуток времени.

Средняя ускорение-величина изменения скорости в единицу времени.

V_cp=

a_cp=

Движение материальной точки или материального тела может быть задана двумя способами: естественным и координатным.

При естественном способе должны быть заданы: траектория движения, начало отсчета, направление движения и уравнение движения.

При координатном способе должны быть заданы уравнения изменения координат точки. Х = f₁(t)Y=f₂(t)Z=f₃(t)

Скорость в данный момент будет равна: V=limV_cp=dS/dt

Ускорение будет выражаться: a= a_cp=dV/dt

Пример решения задачи №1

Определить пройденный материальной точкой путь, скорость, ускорение, если движение задано уравнение:

S= 0,7t²+3t²-2 (М)t= 10 с.

Решение:

1. Подставим в это уравнение значение переменной t= 10с.

S= 0,7*10+3*10-2=35м

2. Найдем скорость как производную от уравнения пути:

V=dS/dt= 1,4t+3 подставим значениеt= 10cV= 17v/c

3. Найдем ускорение как производную от скорости:

a=dV/dt= 1,4 м/с.

Пример решения задачи №2.

Определить траекторию, пройденный путь, скорость, ускорения, если движение задано координатным способом:

Х = 4tY= 2t

Решение:

1. Для определения траектории необходимо избавиться от переменной t– времени.t= Х/4Y= 2х²/16Y= 1/8 Х²

2. Определим составляющие скорости по осям координат:

V_х = d[/dt = 4 V_y = dy/dt = 4t = 40 V² = V_х²V_y² = 16+400² = 160016

V= 400,08 м/с

3. Определим составляющие ускорения по осям координат:

а_х = dх/dt-0 a_y = dy/dt = 1M/C² a²-a_х²y = 4м/с²

Пример решения задачи №3.

Гонщик Формулы-1 набирает 100км/ч за 3,5 секунды. считая движение равноускоренным, определить пройденный за это время путь и ускорение

Решение: 100км/ч = 29 м/с

Расчетные формулы равноускоренного движения:

S = V₀^t+a_t^t2/2

V = V₀+a_t^t

Так как начальная скорость болида формулы-1 V₀= 0

S=a_tt²/2V=a_tt

Из второй формулы: a_t=V/t= 29/3,5 = 8,29 м/с²

Из первой формулы: S= 8,29*3,5²/2 = 50,8 м

Если рассматривать равнозамедленное движение, то

S = Vt – a_tt²/2 V₀ = a_tt+V

Пример решения задачи №4

Вал электродвигателя, вращаясь равноускоренно из состояния покоя, набирает частоту вращения n= 1500 об/секунд. Определить угол поворота, угловое ускорение Е.

Решение:

W =

Из 2-го уравнения

Число оборотов N==

Разно замедленное вращение:

--Cost

Равномерное вращение:

Пример решения задачи №5

Поезд, при отходе от станции набирает скорость 36 км/ч за 30 секунд. Определить пройденный за это время путь и ускорение поезда, считая его постоянным.

V0=0 V= 36 км/чt= 30c

СИ 10м/с

Решение: S=att2/2 V=att

Выразим аt=V/tи подставим в 1 уравнение.

S-? a_t-?

a_t=10/30 = 0,33м/с² S = 0,33 900/2 = 148,5m

Ответ: a_t= 0,33 м/с²S=148,5м.

Пример решения задачи №6. Посадочная скорость самолета 180 м/ч. Определить время торможения (посадки) и длину посадочной полосы, если замедление постоянно и равно-a_t=2м/с²

Решение V0=180 км/ч V=0 -at=2м/с2

СИ 50 м/с

S = 2*252/2 = 625м

S = -a_tt²/2

V = a_tt t = V/a_t = 25c

Пример №7. Водяные капли вытекают из крана и падают через 0,1 секунды одна после другой. Найти расстояние между 1 и 2 каплями через 1 секунду после истечения 1-й капли.

t = 0,1 с t1 = 1с t2 = 0,9с

S = S1-S2

S-?

S = gt₂²gt_t²/2 = 9,81*0,81/2 = 0,93m

Ответ: 0,93м