Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт инженерной физики и радиоэлектроники СФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

II. Функции нескольких переменных.doc

Скачиваний:

209

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

§ 10. Экстремум функции нескольких переменных

Определение 10.1. Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум), если найдется такая -окрестность точки, в пределах которой значениеявляется наибольшим (наименьшим) из всех значенийэтой функции.

Определение 10.2. Функция имеет в точкелокальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.

Условия локального экстремума функции , имеющей в точкечастные производные первого порядка по всем переменным, дает следующая теорема.

Теорема. Если функция имеет в точкечастные производные первого порядка по всем переменными имеет в этой точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка обращаются в точкев нуль, т. е.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции обращаются в нуль, называютстационарными точками этой функции.

В каждой стационарной точке функции возможен локальный экстремум, однако его существование можно установить лишь с помощью достаточных условий. Сформулируем эти условия.

Второй дифференциал функции в точкеможно записать в виде

Это выражение представляет собой квадратичную форму от переменных , коэффициентами которой являются частные производные второго порядка.

Достаточные условия экстремума.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точкии дважды дифференцируема в самой точке, причем точка– точка возможного экстремума данной функции, т. е.. Тогда если второй дифференциалявляетсяположительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой от переменных , то функцияимеет в точкелокальный минимум (максимум). Если же является знакопеременной квадратичной формой, то в точкефункция не имеет локального экстремума.

Рассмотрим случай двух переменных. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точкии дважды дифференцируема в самой точке, причем точка– точка возможного экстремума данной функции, т. е.. Введем обозначения:

Тогда на основе вышесказанного и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, известного из курса линейной алгебры, следуют такие выводы:

1) если , то в точкефункцияимеет локальный экстремум, причем максимум, еслии минимум, если;

2) если , то в точкефункцияне имеет локального экстремума;

3) если , то в точкефункцияможет иметь локальный экстремум, а может и не иметь его.

Обратимся к определению условного экстремума. Рассмотрим функцию при условии, что ее аргументы связаны между собой соотношениями. Последние называютусловиями связи. Пусть координаты точки удовлетворяют условиям связи.

Определение 10.3. Функция имеет в точкеусловный минимум (максимум) при условии связи , если найдется такая-окрестность точки, в пределах которой значениеявляется наименьшим (наибольшим) из всех значенийэтой функции, т. е. выполняется неравенство

Другими словами, условный минимум (максимум) – это наименьшее (наибольшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки, а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.

Рассмотрим два метода нахождения точек условного экстремума.

1. Метод исключения. Если уравнения связи

удается разрешить относительно каких-то переменных, например относительно переменных, т. е.

то исследование функции на условный экстремум при ограниченияхсводится к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функциипеременных:

2. Метод Лагранжа. Пусть функции

непрерывно дифференцируемы в окрестности точки и ранг матрицы Якоби

в этой точке равен . Функцию

называют функцией Лагранжа, параметры называютмножителями Лагранжа. Сформулируем необходимые и достаточные условия существования условного экстремума.

Необходимые условия. Для того чтобы точка являлась точкой условного экстремума функциипри уравнениях связи, необходимо, чтобы ее координаты при некоторых значенияхудовлетворяли системе уравнений

Достаточные условия. Пусть функции

дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , а также пусть в этой точке выполняются необходимые условия существования условного экстремума функциипри

Тогда если при выполнении условий

второй дифференциал функции Лагранжа является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функцияв точкеимеет условный строгий минимум (максимум). Если второй дифференциалявляется неопределенной квадратичной формой, то в точкеусловного экстремума нет.

Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Эти значения она может принимать как во внутренних точках множества(точки экстремума), так и на его границе. Следовательно, необходимо специальное исследование граничных точек множества.

Пример 10.1. Исследовать функцию на экстремум.

Решение. Найдём стационарные точки из системы уравнений:

Имеется одна стационарная точка . Выясним, является ли эта точка точкой экстремума. Найдём вторые производные:

; ;;.

Так как , то в точкеесть экстремум. Поскольку, то в точкефункция имеет локальный минимум, равный.

Пример 10.2. Исследовать на экстремум функцию трех переменных

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

Решив систему

найдем стационарные точки и.

Вычислим частные производные второго порядка:

Составим матрицу второго дифференциала функции:

В точке ее главные миноры

положительны. Следовательно, в этой точке функция имеет минимум . Для исследования функции в точкенельзя использовать критерий Сильвестра, т. к.. В этой точке экстремума нет. Действительно,, а в сколь угодно малой окрестности точкифункция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например,если, иесли.

Пример 10.3. Найти экстремум функции при условииметодом множителей Лагранжа.

Решение. Составим функцию Лагранжа:

где λ – множители Лагранжа.

Исследуем функцию на экстремум. Определим стационарные точки, используя необходимые условия существования экстремума. Найдем частные производные функции и приравняем их к нулю:

Следовательно, имеется одна стационарная точка . Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. Вычислим второй дифференциал функции. Для этого необходимо найти частные производные второго порядка в точке :

Тогда дифференциал второго порядка можно записать следующим образом:

Так как , то в точкефункция имеет условный ми-

нимум:

Пример 10.4. Найти условные экстремумы функции

относительно уравнения связи

Решение. Функции инепрерывно дважды дифференцируемы. Матрица Якоби в данном случае имеет вид, и ее ранг равен единице во всех точках, удовлетворяющих уравнению связи. Следовательно, можно применить метод Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа:

Согласно необходимым условиям получаем систему

из которой находим, что прии

при . Таким образом, функцияможет иметь условный экстремум только в двух точках:и.

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа. Так как

, то .

Найдем первый дифференциал функции :.

В точках и дифференциалы исвязаны равенством. Откуда. Следовательно,. Тогда второй дифференциал функции Лагранжа в точкеявляется положительно определенной квадратичной формой

а в точке – отрицательно определенной квадратичной формой

Следовательно, функция в точкеимеет условный минимум, а в точке– условный максимум.

Пример 10.5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области, заданной системой неравенств.

Решение. Определим стационарные точки заданной функции в данной области и изучим поведение функции на границе области. Найдем частные производные первого и второго порядка функции:

;

Из системы уравнений (необходимое условие существования экстремума) определим стационарную точку:

Стационарная точка принадлежит области и является точкой экстремума (достаточное условие), т. к.

Рис. 12

Точка является точкой минимума, посколькуи .

Исследуем поведение функции на границе области. На оси Ox и наибольшие значения функция принимает в наиболее удалённых от нуля точках, т. е. при . Это точкии(рис. 19).

На прямой

Точка – точка минимума. Для всехфункция возрастает, поэтому в пределах области наибольшее значение она принимает в точке.

На прямой

; .

Точка – точка минимума, В пределах области наибольшего значения функция достигает в точкеили в точке.

На прямой

Точка – точка минимума. В пределах области наибольшее значение функция принимает в точке.

Осталось вычислить значения функции в точках ,,,; значение в точкевычислено выше :

Таким образом, сравнивая все полученные значения функции, выбираем из них наибольшее (в точке ) и наименьшее (в точке) значения:

Пример 10.6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой областиD, заданной системой неравенств

, .

Решение. Область ограничена прямой и параболой. Вначале исследуем функцию на экстремум: найдем частные производные и приравняем их к нулю. Определим стационарные точки: