
- •II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§ 1. Функции нескольких переменных. Основные понятия.
- •Область существования. Линии и поверхности уровня
- •§ 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •§ 3. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Пример 3.3. Найти полный дифференциал функции в точке .
- •§ 4. Производная сложной функции
- •§ 5. Производная по направлению. Градиент
- •Пример 5.1. Для функции найти градиент и производную по направлению векторав точке.
- •§ 6. Дифференцирование неявных функций
- •§ 7. Замена переменных
- •§ 8. Геометрические приложения
- •§ 9. Формула Тейлора и ряд Тейлора
- •§ 10. Экстремум функции нескольких переменных
§ 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
Рассмотрим функцию
определенную на множестве
точек
-мерного
евклидова пространства
и точку
пространства
,
быть может и не принадлежащую множеству
но обладающую тем свойством, что в любой
-окрестности
этой точки
содержится хотя бы одна точка множества
отличная от
.
Расстояние между точками
и
обозначим
.
Определение
2.1 (Предел
функции в точке
по Гейне).
Число
называется пределом функции
в точке
,
если для любой сходящейся к
последовательности
точек множества
,
все элементы
которой отличны от
,
соответствующая числовая последовательность
значений функции
сходится к числу
Определение
2.2 (Предел
функции в точке
по Коши).
Число
называется пределом функции
при
если для любого положительного числа
найдется отвечающее ему положительное
число
такое, что для любой точки
из множества
,
удовлетворяющей условию
справедливо неравенство
.
Для обозначения
предела функции
в точке
принято использовать следующие символы:
,
где
– координаты точки
.
Понятие непрерывности
функции
переменных также имеет два определения.
Рассмотрим функцию
переменных
,
заданную на некотором множестве
пространства
.
Пусть
– некоторая точка
принадлежащая множеству
,
такая, что в любой
-окрестности
точки
содержатся точки множества
отличные от
.
Определение
2.3. Функция
называется непрерывной в точке
,
если предел функции в точке
существует и равен частному значению
Точки пространства
,
в которых функция
не обладает свойством непрерывности,
называютсяточками
разрыва этой
функции.
На основе определений
предела функции в точке
по Гейне и по Коши мы можем сформулировать
определения непрерывности функций в
данной точке по Гейне и по Коши.
Определение
2.4
(Непрерывность
функции точке
по Гейне).
Функция
называется непрерывной в точке
,
если для любой сходящейся к
последовательности
точек множества
соответствующая числовая последовательность
значений функции сходится к числу
Определение
2.5
(Непрерывность
функции в точке
по Коши).
Функция
называется непрерывной в точке
,
если для любого положительного числа
найдется отвечающее ему положительное
число
такое, что для любой точки
из множества
,
удовлетворяющей условию
справедливо неравенство
Дадим определение непрерывности функции на множестве.
Определение
2.6. Функция
,
определенная на множестве
,
называется непрерывной на этом множестве,
если она непрерывна в каждой точке
этого множества.
Определение
2.7
(Равномерная
непрерывность функции на множестве).
Функция
,
определенная на множестве
,
называетсяравномерно
непрерывной
на этом множестве, если для любого
существует такое
,
что для любых двух точек
множества
,
расстояние между которыми удовлетворяет
условию
,
выполняется неравенство
.
Пример 2.1.
Найти предел функции
в точке
по прямой
;
доказать, что
не существует.
Решение.
Функция определена во всех точках
плоскости, кроме точки
.
Так как
при
(если
,
то
),
то предел функции в точке по каждой
прямой, проходящей через начало координат,
равен нулю.
Чтобы доказать,
что
не существует, достаточно указать
кривую, проходящую через начало координат,
по которой предел функции в точке
не равен нулю. Такой кривой является,
например, парабола
.
Действительно,
и
.
Пример 2.2.
Исследовать на непрерывность функцию
Решение.
Функция не определена во всех точках,
для которых
.
Следовательно, она терпит разрыв в
точках, лежащих на этой прямой.
Пример 2.3.
Исследовать на равномерную непрерывность
функцию
.
Решение.
Функция
непрерывна на множестве рациональных
точек плоскости. Однако она не является
равномерно непрерывной, так как разность
значений функции
в точках
и
,
где
,
будет больше любого числа
,
если
,
как бы мало ни было расстояние
между точками.
2.1.
Показать, что для функции
имеются повторные пределы
,
но
не существует.
2.2.
Показать, что для функции
оба повторных предела
не существуют, но существует
.
2.3.
Найти
,
если
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
д)
|
|
Найти следующие двойные пределы:
2.4.
|
2.5.
|
2.6.
|
2.7.
|
2.8.
Определите, по каким направлениям
существует конечный предел:
а)
|
б)
|
если
.
Найти точки разрыва следующих функций:
2.9.
|
2.10.
|
2.11.
|
|
2.12. Показать, что функция
непрерывна по
каждой переменной
и
в отдельности, но не является непрерывной
по совокупности этих переменных.
2.13.
Найти значение
,
при котором функция
является непрерывной
в
.
Исследовать на
равномерную непрерывность следующие
функции на множестве
:
2.14.
.
2.15.
.
2.16.
.
2.17.
Найти образ окружности
при отображении:
1)
|
2)
|
2.18.
Найти образ прямой
при отображении:
.
Ответы:
2.3.
а) 0, 1; б)
,
1; в) 0, 1; г) 0, 1; д) 1,
.
2.4. 0. 2.5.
.2.6. 0.
2.7.
.2.8.
а)
;
б)
и
.2.9.
Все точки прямой
.2.10.
– точка бесконечного разрыва; точки
прямой
– устранимые точки разрыва.2.11.
Точки координатных плоскостей
.2.13.
0. 2.14.
Равномерно непрерывна
2.15. Не является
равномерно непрерывной.
2.16. Не является
равномерно непрерывной; 2.17.
Эллипс
;2.18.
Цилиндр
,
если
;
ось
,
если
.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Оставленные комментарии видны всем.