§ 5. Производная по направлению. Градиент

Производная по направлению некоторого вектора характеризует скорость изменения функциив точкевдоль этого вектора.

Если функция имеет в точкенепрерывные частные производные, то в этой точке существует производнаяпо направлению , где;– длина вектора, причем

где значения частных производных , вычисляются в точке .

Вектор с координатами , характеризующий направление максимального роста функции в точке, называютградиентом функции в этой точке и обозначают .

Производная по направлению и градиент связаны соотношением

Для функции трех переменных направлениезадается вектором, где– углы между вектороми положительными направлениями осей,,, а называют направляющими косинусами вектора .

Тогда

где есть вектор с координатами

Пример 5.1. Для функции найти градиент и производную по направлению векторав точке.

Решение. Найдем координаты вектора в точке согласно определению.

Вычислим частные производные и найдем их значения в точке :

.

Таким образом, .

Длину вектора определим по формуле

,

Тогда, учитывая найденные координаты вектора, получим

.

Далее найдем производную в точке по направлению вектора . Как известно,

,

,

где .

Тогда производная по направлению вектора в точкеравна

.

5.1. Верно ли следующее утверждение: градиентом функции в точкеявляется вектор?

Найти производную функции по направлению векторав точке, если:

5.2. .

5.3. .

Найти производную функции в точкепо направлению вектора, если:

5.4. .

5.5. .

5.6. Показать, что в точке угол между градиентами функций

и

,

где – константы, астремится к нулю, если точкаудаляется в бесконечность.

5.7. Решить уравнение , если

.

5.8. Найти наибольшее значение производной в точке , если

.

Ответы: 5.1. Неверно. 5.2. . 5.3. . 5.4. . 5.5. .5.7. , , . 5.8. .

§ 6. Дифференцирование неявных функций

Теорема существования. Если:

1) функция обращается в нуль в некоторой точке;

2) иопределены и непрерывны в окрестности точки;

3) ,

то в некоторой достаточно малой окрестности точки существует единственная однозначная непрерывная функция

,

удовлетворяющая уравнению

и такая, что .

Частные производные функций, заданных неявно. Если выполнены все условия приведенной выше теоремы и, кроме того, функция дифференцируема в окрестности точки, то функциядифференцируема в окрестности точкии ее производныеимогут быть найдены из уравнений

.

Если функция дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием этих уравнений вычисляются производные высших порядков от функции.

Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений. Пусть функции удовлетворяют следующим условиям:

1) обращаются в нуль в точке ;

2) дифференцируемы в окрестности точки ;

3) функциональный определитель (якобиан) в точке.

Тогда система уравнений

однозначно определяет в некоторой окрестности точки систему дифференцируемых функций

,,

удовлетворяющих системе уравнений и начальным условиям

,.

Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы

.

Пример 6.1. Найти в точке (1;1) частные производные функции , заданной неявно уравнением

.

Решение. Из уравнения найдем значение функции в данной точке:

. Функция равна нулю в точке (1;1;2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частные производные

также непрерывны, .

Поэтому функция является непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (1;1;2) и ее частные производные можно найти по формулам:

.

Тогда

,

а значение в точке (1;1;2):

.

Пример 6.2. Найти производные первого и второго порядков неявных функций в точке, если эти функции заданы системой уравнений

(1)

и удовлетворяют условиям .

Решение. Функции

и

дифференцируемы в окрестности точки . Частные производные

непрерывны в точке . Так как и , а якобиан в точке отличен от нуля, т. е.

,

то система уравнений (1) определяет единственную пару функций , дважды дифференцируемых в окрестности точки.

Продифференцируем систему (1) по переменной :

(2)

Подставив координаты точки в эту систему, получим

Тогда . Еще раз продифференцируем посистему (2):

В точке имеем

Тогда .

6.1. Уравнение определяеткак многозначную функцию от. В каких областях эта функция: 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные ветви.

Найти идля функций, определяемых следующими уравнениями:

6.2. .

6.3. .

6.4. Доказать, что для кривой второго порядка

справедливо равенство

.

Для функции найти частные производные первого и второго порядков, если:

6.5. .

6.6. .

6.7. Найти при, если

.

Найти и, если:

6.8. .

6.9. .

6.10. Найти , если.

6.11. Найти , если.

6.12. Найти и, если.

6.13. Найти и, если,.

6.14. Система уравнений

определяет дифференцируемые функции итакие, чтои. Найтии.

6.15. Функция задана уравнением

.

Показать, что

.

Ответы: 6.1. 1) нигде; 2) ; 3); 4) ; однозначные ветви:,

; , где. 6.2. . 6.3.

.

6.5. ; . 6.6.  .

6.7. ;.

6.8. ;

.

6.9. .

6.10. .

6.11.

. 6.12. .

6.13. . 6.14. .