
- •II. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§ 1. Функции нескольких переменных. Основные понятия.
- •Область существования. Линии и поверхности уровня
- •§ 2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •§ 3. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных
- •Пример 3.3. Найти полный дифференциал функции в точке .
- •§ 4. Производная сложной функции
- •§ 5. Производная по направлению. Градиент
- •Пример 5.1. Для функции найти градиент и производную по направлению векторав точке.
- •§ 6. Дифференцирование неявных функций
- •§ 7. Замена переменных
- •§ 8. Геометрические приложения
- •§ 9. Формула Тейлора и ряд Тейлора
- •§ 10. Экстремум функции нескольких переменных
§ 5. Производная по направлению. Градиент
Производная по
направлению некоторого вектора
характеризует скорость изменения
функции
в точке
вдоль этого вектора.
Если функция
имеет в точке
непрерывные частные производные, то в
этой точке существует производная
по направлению
,
где
;
– длина вектора
,
причем
где значения
частных производных ,
вычисляются в
точке
.
Вектор с координатами
,
характеризующий направление максимального
роста функции в точке
,
называютградиентом
функции в этой точке и обозначают
.
Производная по направлению и градиент связаны соотношением
Для функции трех
переменных
направление
задается вектором
,
где
– углы между вектором
и положительными направлениями осей
,
,
,
а
называют направляющими косинусами
вектора
.
Тогда
где
есть вектор с координатами
Пример 5.1. Для функции найти градиент и производную по направлению векторав точке.
Решение.
Найдем координаты вектора
в точке
согласно определению
.
Вычислим частные
производные и найдем их значения в точке
:
.
Таким образом,
.
Длину вектора
определим
по формуле
,
Тогда, учитывая найденные координаты вектора, получим
.
Далее найдем
производную в точке
по направлению вектора
.
Как известно,
,
,
где
.
Тогда производная
по направлению вектора
в точке
равна
.
5.1.
Верно ли следующее утверждение: градиентом
функции
в точке
является вектор
?
Найти производную
функции
по направлению вектора
в точке
,
если:
5.2.
.
5.3.
.
Найти производную
функции
в точке
по направлению вектора
,
если:
5.4.
.
5.5.
.
5.6.
Показать, что в точке
угол между градиентами функций
и
,
где
– константы, а
стремится к нулю, если точка
удаляется в бесконечность.
5.7.
Решить уравнение
,
если
.
5.8.
Найти наибольшее значение производной
в точке
,
если
.
Ответы: 5.1.
Неверно. 5.2.
.
5.3.
.
5.4.
.
5.5.
.5.7.
,
,
.
5.8.
.
§ 6. Дифференцирование неявных функций
Теорема существования. Если:
1) функция
обращается в нуль в некоторой точке
;
2)
и
определены и непрерывны в окрестности
точки
;
3)
,
то в некоторой
достаточно малой окрестности точки
существует единственная однозначная
непрерывная функция
,
удовлетворяющая уравнению
и такая, что
.
Частные
производные функций, заданных неявно.
Если выполнены все условия приведенной
выше теоремы и, кроме того, функция
дифференцируема в окрестности точки
,
то функция
дифференцируема в окрестности точки
и ее производные
и
могут быть найдены из уравнений
.
Если функция
дифференцируема достаточное число раз,
то последовательным дифференцированием
этих уравнений вычисляются производные
высших порядков от функции
.
Дифференцирование
неявных функций, заданных системой
уравнений.
Пусть функции
удовлетворяют следующим условиям:
1) обращаются в
нуль в точке
;
2) дифференцируемы
в окрестности точки
;
3) функциональный
определитель (якобиан)
в точке
.
Тогда система уравнений
однозначно
определяет в некоторой окрестности
точки
систему дифференцируемых функций
,
,
удовлетворяющих
системе уравнений
и начальным условиям
,
.
Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из системы
.
Пример 6.1.
Найти в точке (1;1) частные производные
функции
,
заданной неявно уравнением
.
Решение.
Из уравнения найдем значение функции
в данной точке:
.
Функция
равна нулю в точке (1;1;2) и непрерывна в
ее окрестности, а ее частные производные
также непрерывны,
.
Поэтому функция
является непрерывно дифференцируемой
в окрестности точки (1;1;2) и ее частные
производные можно найти по формулам:
.
Тогда
,
а значение в точке (1;1;2):
.
Пример 6.2. Найти
производные первого и второго порядков
неявных функций
в точке
,
если эти функции заданы системой
уравнений
(1)
и удовлетворяют
условиям
.
Решение. Функции
и
дифференцируемы
в окрестности точки
.
Частные производные
непрерывны в точке
.
Так как
и
,
а якобиан в точке
отличен от нуля, т. е.
,
то система уравнений
(1) определяет единственную пару функций
,
дважды дифференцируемых в окрестности
точки
.
Продифференцируем
систему (1) по переменной
:
(2)
Подставив координаты
точки
в эту систему, получим
Тогда
.
Еще раз продифференцируем по
систему (2):
В точке
имеем
Тогда
.
6.1.
Уравнение
определяет
как многозначную функцию от
.
В каких областях эта функция: 1) однозначна,
2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна?
Определить точки ветвления этой функции
и ее однозначные ветви.
Найти
и
для функций, определяемых следующими
уравнениями:
6.2.
|
6.3.
|
6.4. Доказать, что для кривой второго порядка
справедливо равенство
.
Для функции
найти частные производные первого и
второго порядков, если:
6.5.
|
6.6.
|
6.7.
Найти
при
,
если
.
Найти
и
,
если:
6.8.
|
6.9.
|
6.10.
Найти
,
если
.
6.11.
Найти
,
если
.
6.12.
Найти
и
,
если
.
6.13.
Найти
и
,
если
,
.
6.14. Система уравнений
определяет
дифференцируемые функции
и
такие, что
и
.
Найти
и
.
6.15.
Функция
задана уравнением
.
Показать, что
.
Ответы: 6.1. 1)
нигде; 2)
;
3)
;
4)
;
однозначные ветви:
,
;
,
где
.
6.2.
.
6.3.
.
6.5.
;
.
6.6.
.
6.7.
;
.
6.8.
;
.
6.9.
.
6.10.
.
6.11.
.
6.12.
.
6.13. .
6.14.
.