III. Ряды

§ 1. Числовые ряды

1.1. Основные понятия

Числовой ряд называется сходящимся, или суммируемым, если его частичные суммы

имеют предел при .

Величина называется суммой ряда, а число называется остатком ряда (тоже ряд).

Если не существует либо он бесконечен, то рядрасходится.

Ряд сходится тогда и только тогда, когда для любого остатоксходится.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то. Обратное утверждение неверно.

Достаточный признак расходимости. Если , то рядрасходится.

Свойства сходящихся рядов. Пусть ,и– постоянная величина. Тогда

; .

Если ряд сходится, то сходятся также и другие ряды, полученные из исходного ряда добавлением, удалением или перестановкой конечного числа членов. (Сумма ряда может измениться).

Критерий Коши. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числаможно было подобрать такое, чтобы прии любом положительномвыполнялось неравенство.

Пример 1.1. Исследовать сходимость рядов:

а) ; б).

Решение. а) Проверим выполнение необходимого признака сходимости:

.

Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

б) Ряд называетсягармоническим. Очевидно, , т. е. общий член стремится к нулю. Покажем, что этот ряд расходится. Используем критерий Коши. Следует доказать, что.

В качестве выберем число . Берем любое и любое. Пусть. Тогда

.

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд и найти его сумму.

Решение. Используя метод неопределенных коэффициентов, представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

.

Таким образом,

.

Так как , данный ряд сходится и его сумма равна.

Пример 1.3. Пусть . Доказать, что ряды

а) ; б)

сходятся и найти их суммы.

Решение. а) Используя формулы для суммы первых членов геометрической прогрессии, получаем, откуда следует, что. Итак,

, .

б) Так как , то

.

Откуда

;

.

Если , то; поэтому существует, т. е..

Найти -ю частичную суммуряда и суммуэтого ряда:

1.1. .	1.2. .
1.3. .	1.4. .
1.5. .	1.6. .
1.7. .	1.8. .
1.9. .	1.10. .
1.11. .	1.12. .

Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости:

1.13. .	1.14. .
1.15. .	1.16. .
1.17. .	1.18. .
1.19. .	1.20. .

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда , если:

1.21. .	1.22. .
1.23. .	1.24. .

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость ряда , если:

1.25. .	1.26. .
1.27. .	1.28. .

Ответы: 1.1.  ,.1.2.  ,.1.3.  ,.1.4.  ,.1.5.  ,.1.6.  ,.

1.7. ,.1.8. ,

. 1.9. ,.1.10. ,

. 1.11. ,.1.12.  ,

.

1.2. Ряды с неотрицательными членами

Если все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то такой ряд называется знакопостоянным. Для определенности будем считать, что все . Тогда частичные суммыряда образуют монотонно возрастающую последовательность.

Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами. Для сходимости ряда , где , необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Признак сравнения I. Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то из сходимости рядаследует сходимость ряда , а из расходимостиряда следует расходимость ряда .

Признак сравнения II. Пусть и. Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно. (То есть невозможно, чтобы один из них сходился, а другой расходился).

В качестве «эталонных» рядов обычно используют:

1) геометрический ряд , который сходится прии расходится при;

2) обобщенный гармонический ряд , который сходится прии расходится при.

Метод выделения главной части. Если для ряда с неотрицательными членами удается получить асимптотическую формулу вида, то ряд сходится прии расходится при.

Признак Коши. Пусть существует . Тогда если – ряд сходится, если– ряд расходится, если– признак неприменим.

Признак Даламбера. Если существует , то приряд сходится, при– расходится, а припризнак неприменим.

Признак Раабе. Если и существует, то прирядсходится, а при– расходится.

Признак Гаусса. Пусть и, где.

Тогда:

если – ряд сходится; если – ряд расходится; если и– ряд сходится; если и– ряд расходится.

Интегральный признак Коши-Маклорена. Пусть – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при. Тогда ряди интеграллибо оба сходятся, либо оба расходятся.

Пример 1.4. Исследовать сходимость рядов:

а) ; б);

в) ; г) .

Решение. а) Используем признак Коши:

.

Ряд расходится.

б) Используя асимптотическую формулу Стирлинга приполучим

.

Следовательно, ряд расходится.

в) Ряд сходится, т. к. при ,, и ряд сходится.

г) Имеем

;

поэтому ряд расходится.

Пример 1.5. Исследовать сходимость рядов:

а) ; б);

в) ; г).

Решение. а) . Воспользуемся признаком Раабе. Ряд расходится.

б) В применении к ряду признак Гаусса дает;— ряд расходится.

в) Для ряда имеем;,– ряд сходится.

г) Введем функцию и рассмотрим несобственный интеграл. Из последнего равенства видно, что данный интеграл сходится, если, и расходится, если.

Доказать сходимость ряда , установив ограниченность сверху последовательности его частичных сумм:

1.29. .	1.30. .
1.31. .	1.32. .

Исследовать сходимость ряда , использовав признаки сравнения или получив асимптотическую формулу вида, при.

1.33. .	1.34. .
1.35. .	1.36. .
1.37. .	1.38. .
1.39. .	1.40. .
1.41. .	1.42. .
1.43. .	1.44. .
1.45. .	1.46. .
1.47. .	1.48. .
1.49. .	1.50. .
1.51. .	1.52. .