Пример 3.3. Найти полный дифференциал функции в точке .

Решение. Найдем частные производные заданной функции:

,

.

Полный дифференциал функции .

Тогда

.

Значение дифференциала в точке равно .

Пример 3.4. Дана функция . Проверить, является ли она решением уравнения .

Решение. Найдем последовательно частные производные первого и второго порядка:

;

.

После подстановки этих производных в уравнение получим

,

т. е. является решением уравнения.

Пример 3.5. Дана функция . Показать, что

.

Решение. Найдем частные производные первого и второго порядка заданной функции:

;

; ; .

Подставим найденные производные в выражение для :

что и требовалось показать.

Пример 3.6. Найти дифференциал второго порядка функции .

Решение. Дифференциал второго порядка определим с помощью формулы

.

Воспользуемся полученными в примере 3.5 производными второго порядка.

Тогда

,

или

.

Пример 3.7. Вычислить приближенно .

Решение. Положим

Тогда . Вычислим частные производные функции в точке с координатами:

.

Подставив полученные данные в формулу приближенных вычислений, получим, что

.

3.1. Найти и, если. Является ли эта функция дифференцируемой в точке ?

Найти частные производные первого и второго порядка от следующих функций:

3.2. .	3.3. .
3.4. .	3.5. .
3.6. .	3.7. .

3.8. Проверить равенство , если:

а) ;

б) .

3.9. Пусть

Показать, что .

3.10. Пусть – дважды дифференцируемая однородная функция измерения. Доказать, что

.

Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

3.11. .	3.12. .
3.13. .

Заменив приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:

3.14. а) ;	б) ;
в) .

Найти частные производные:

3.15. если

.

3.16. если.

3.17. если.

Найти дифференциалы указанного порядка:

3.18. , если.

3.19. , если.

3.20. Пусть . Найти, если:

а) ;

б) .

Ответы: 3.1. ,. Функция недифференцируема в точке.3.14. а) 108,972, б) 2,95б в) 0,502. 3.15. ,. 3.16. . 3.17. .

3.18. . 3.19. .

3.20. а) , б).

§ 4. Производная сложной функции

Производную сложной функции рассмотрим на примере функции двух переменных.

Пусть на множестве определена сложная функция, где,, и пусть функции,имеют в некоторой окрестности точкинепрерывные частные производные, а функцияимеет непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки, где,. Тогда сложная функциядифференцируема в точкеи её частные производные вычисляются по следующим формулам:

В частности, если функция является функцией двух переменных, которые в свою очередь есть функции одной переменной,, то производная вычисляется по формуле

.

Пример 4.1. Найти частные производные функции , где .

Решение. Имеем

Пример 4.2. Найти производные ифункции, где,.

Решение. Используем правило дифференцирования сложной функции:

, .

Найдем все частные производные, входящие в данные равенства:

.

Тогда частные производные сложной функции запишутся следующим образом:

;

.

Подставив функции ив найденные выражения, окончательно получим:

;

.

Доказать, что если – произвольная дифференцируемая функция, то функцияудовлетворяет следующему уравнению:

4.1. .

4.2. .

4.3. .

Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:

4.4. .

4.5. .

Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функций:

4.6. , где.	4.7. , где.
4.8. .

4.9. , где.

Найти , если:

4.10. .

4.11. .

4.12. Показать, что функция (и– постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа

.

4.13. Показать, что функция (и– постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности

.

4.14. Упростить выражение , если

, где – дифференцируемая функция.

4.15. Пусть

и

.

Доказать, что

.

Предположив, что произвольные функции дифференцируемы достаточное число раз, проверить следующие равенства:

4.16. , если.

4.17. , если.

4.18. , если.

Ответы: 4.4. ;;

; ;

.

4.6. ,. 4.7. ,

. 4.10. .4.14. .