45. Числовые характеристики случайных величин.

Случайная – переменная величина, значение которой зависит от случайных исходов некоторого испытания.- вероятностное пространство, тогда числовая функция от элементарного события называют случайной величиной, если каждому исходу некоторого испытания поставлено в соответствие единственное действительное число х – значение случайной величины на . Х- случайная величина, . Случайная величина считается заданной, если задан закон ее распределения, т.е. мн-во зн-й и соотв. вероятности. Величины: дискретные, непрерывные.

Числовые хар-ки ДСВ: 1) Математическое ожидание – число равное сумме произведений значений ДСВ на соотв вер-ти M(x)=сумма(i=1,n)(x_ip_i). Вероятностный смысл МО- пусть произведено n-испытаний, в кот с в x приняла зн-е x₁,,x_k, причем x1 встретилось m1 раз, xk – mk раз, тогда сумма всех значений с в = x1m1++xkmk .x_=( x1m1++x_km_k)/n= x₁(m₁/n)++x_n(m_n/n) где m_i/n – отн частота. МО сл в прибл = сред ариф набл зн-й. Если сл в x принимает свои зн-я с равными аер-ми, то МО=ср ариф всех принимаемых зн-й. Если вер разл, то МО м/понимать как взвеш среднее, в кот вклад отдел зн-й x_i в общ сумме пропорц их вер-ти. Св-ва МО: 1) M(c)=c 2) Если все зн-я сл в ув или ум в одно число раз, то и МО ув или ум в это же число раз. M(cx)=cM(x). 3) Если все зн-я сл в ув или ум на одно и тоже число, то МО ув или ум на это же число. M(x+c) = M(x)+c.Док.M(x+c) = (xi+c)p_{i =} (x_ip_i+cp_i) = x_ip_i + cp_i = x_ip_i + cp_i= Mx+c 4) МО суммы (разности) сл в = сумме (разности) МО M(x+y) = (x_i+y_j)p_ij = x_ip_ij + y_jp_ij = x_ip_i +y_jp_j = M(x) + M(y) 5) M(xy)=M(x)M(y) 6) МО ф-и сл в определяется как сумма произведений зн-й ф-й от зн-й сл в на вер-ти зн-я сл в. M(f(x))=(i=1,n)f(x_i)p_i 7) МО отклонения сл в от своего МО =0, M[x-M(x)]=0.

2) Дисперсия – МО квадрата отклонения сл вел от ее МО. D(x) = M {[x-M(x)]²}; D(x)=(i=1,n)(x_i-M(x))²p_i.Св-во дисперсии: 1) D(c) = 0; 2) D(cx)=c²D(x) если все зн-я сл в ув или ум в с раз, то дисперсия ув или ум в с² раз. 3) D(x+c)=D(x); 4) D(x+y) = D(x) +D(y); D(x)-D(y) = D(x+(-y)) = D(x)+D(-y) = D(x)+D(y).

3) Среднее квадратичное отклонение – (x) = (D(x)) Св-во (x+y) = (D(x)+D(y))

4) Мода ДСВ- наиболее вероятное зн-е.

5) Теор моменты – центральный и начальный. Начальный момент k-ого порядка сл вел x наз МО k-ой степени сл вел.k = M(xk) =  xikpi; 0 = M(x0) = M(1) =1; 1 = M(x) = xipi; Центральный момент k-ого порядка сл в x наз МО k-ой степени отклонения сл вел от своего МО. k = M{(x-M(x))}k; 1=M(x-M(x))=0; 2=M(x-M(x))2 = D(x). Для Биномиального распределения M(x)=np; D(x)=npq; Пуассон распр M(x)=D(x)= =np; геом распр M(x)=q/p=(1-p)/p; D(x)=(1-p)/p². Числовые хар-ки для НСВ. 1)МО M=(-;+) xf(x)dx; 2) Модой НСВ наз то ее возможное зн-е, кот соотв max ее диф ф-й. Если f(x) достигает max в неск т, то распред наз полимодальным. 3) Медианой НСВ наз то ее возм зн-е, кот опред усл P(x<M_e(x))=P(x> M_e(x))=1/2; 4) Дисперсия D(x) = (a;b) x²f(x)dx-[M(x)]²; 5) (x) = (D(x)) 6)Ассиметрией непр сл вел наз отн-е центр момента третьего порядка к кубу среднего квадратич отклонения. Если сраспред сим отн М, то сим = 0. A_s=M₃/³; 7) Эксцесс E_r=M₄/⁴ – 3 служит для хар-ки крутости распр. Ковариация или корреляционный момент X, Y наз МО произв отклон сл в от своих МО. cov(x,y) = M[(x-M(x))(y-M(y))]. дДСВ cov(x,y)=(x_i-a_x)(y_j-a_y)p_ij; д/НСВ cov(x,y)=(-;+ )(x-a_x)(y-a_y) f(x,y)dxdy. Ковариация характеризует степень зав сл вел и их рассеивание вокруг т. Св-ва 1) Ковариация двух незав сл вел =0; 2) Д/2-х сл вел cov(x,y) = M(x-y)-M(x)M(y); 3) |cov(x,y)|<=_x_y. Коэф корреляции. r_xy наз отн-е cov этих сл в к произв _x_y. r_xy= cov(x,y)/ _x_y. r_xy= r_yx. Св-ва: 1) |r|<=1; 2) Если x и y незав, то r=0; 3) |r|=1, то м/д x и y сущ лин функц зав. Две сл вел наз коррелированными, если их ковариация отлична от 0 и некорр, если =0.Сл вел x и y незав, т.и т.т.к. ф-я их совместного распределения = произведению ф-и распред составляющих.