- •51. Организация файловой системы fat
- •52. Организация файловой системы ext2
- •53. Язык регулярных выражений и его применение, шаблоны имен файлов
- •2)Символы – квантификаторы(повторители):
- •54. Пользовательский интерфейс ос
- •55. Язык сценариев ос
- •56. Процессы и механизмы многозадачности
- •57. Переменные величины в яп, их атрибуты, время жизни, область видимости
- •58. Типы данных в яп
- •59. Алгоритмы обработки массивов
- •60. Выражения и операции. Перегрузка операций.
- •61. Операторный базис языков программирования.
- •62. Функция как средство структурирования программы.
- •69. Механизмы создания и уничтожения объектов
- •70. Наследование в яп
- •Виртуальные функции
- •Синтаксис шаблона функции
- •Примеры определений шаблонов функций
- •Прототип шаблона функции
- •Использование шаблона функции
- •Специализация шаблонов функции
- •Шаблоны классов
- •Синтаксис шаблона класса
- •Пример определения шаблона класса
- •Использование шаблона класса
- •Векторы
- •Уравнение прямой
- •Общее уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.
- •Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Уравнение поверхности:
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •39. Алгебра логики.
- •3. Основные законы логики.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Вопрос 40 Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья.
- •42. Сети и алгоритмы на сетях.
- •43. Вероятность случайного события. Основные свойства вероятности.
- •44. Случайные величины и законы их распределения.
- •45. Числовые характеристики случайных величин.
- •46. Методы проверки статических гипотез.
- •47. Математические модели операций.
- •48. Матричные игры.
- •49.Линейное программирование. Симплекс-метод.
- •50. Выпуклое программирование.
- •2) Различные формы условий оптимальности.
- •74. Проектирование структуры реляционной базы данных. Метод er-диаграмм (сущность-связь).
- •75. Языки описания запросов. Язык sql.
- •Select [all | distinct] –команда выборки данных
Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
.
– это автономная система, т. к. правая часть от времени не зависит.
- решение системы (1)
Точку (a1,…,an) фазового пространства (x1,…,xn) будем называть точкой покоя (точкой положения равновесия) системы. (особая точка)
Точка xi=0 – точка покоя.
Пусть S(R) – шар
Опр. Будем говорить, что точка покоя x1=0,…,xn=0 системы (1) устойчива, если для такая чтотраектория системы, начинающаяся в момент времени t=t0 в точке , все время остается в шаре .
Точка покоя асимптотически устойчива, если:
она устойчива;
что каждая траектория системы, начинающаяся в точке стремится к началу координат, когда время неограниченно растет.
Пример 1:
С течением времени точки приближаются к началу координат. => точки покоя асимптотически устойчивы.
Исследуем расположение траектории в окрестности точки покоя x=0, y=0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:
Предполагается, что определитель (0, 0) – точка покоя.
Решение системы (2) будем искать в виде:
После нахождения λ из характеристического уравнения (3), величины α и β находятся из системы (*) с точностью до постоянного множителя.
Возможные случаи:
А) Корни λ1, λ2 характеристического уравнения (3) действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид:
Пусть λ1<0, λ2<0.Точка покоя (0;0) в этом случае асимптотически устойчива, т.к. =>Точка покоя называетсяустойчивым узлом.
При с2=0 из (4) имеем:
Значит, траекториями являются лучи, входящие в начало координат с коэффициентами: Если с1=0, то получаются лучи, входящие в начало координат с коэффициентами:
Пусть с1≠0 и с2≠0, |λ1| > |λ2|.
при Т.е. все траектории, исключая лучи в окрестности точки покоя (0;0) имеют направление луча:
Пусть λ1>0, λ2>0. Решение записано в виде (4). Если λ1>0, λ2>0, то расположение траектории такое же, как в предыдущем случае, но точки по траектории движутся в противоположном направлении. Точки такого рассматриваемого типа называютнеустойчивым узлом.
Пусть λ1>0, λ2<0. В этом случае точка покоя неустойчива. Действительно, пусть в (4) с2=0, тогда:
. => при движении по лучу точка уходит от точки покоя в -ть.
Пусть в (4) с1=0, тогда:
=> при движении по лучу точка приближается к точке покоя.
Пусть Тогда можно убедиться, что при движении траектория покидает окрестность точки покоя. В этом случае, точка покоя называется седлом.
B) Корни λ1, λ2 характеристического уравнения (3) комплексные:
Общее решение системы (2) можно записать в виде:
где с1, с2 – постоянные коэффициенты;
c1*, с2* - некоторые линейные комбинации этих постоянных.
1)
То в (5)при а 2-е множители в (5) ограниченные периодические функции. В этом случае траекториями будут спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Точка покоя x=0, y=0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом.
2)
Этот случай переходит в предыдущий, если рассматривать неа В этом случае траектории не отличаются от предыдущих траекторий, но при движение происходит в обратном направлении. Точка покоя неустойчива. Она называется неустойчивый фокус.
3)
Из (5) видно, что решением системы (2) будут периодические функции (т.к. в (5) 1-й множитель равен1,а функции периодические). Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемая в этом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, т.к.:
- этими кривыми являются логарифмические спирали, навивающиеся на начало координат, кот. достиг-ся в пределе при в зависимости от того, будет ли a<0 или a>0.
В этом случае точка покоя называется фокусом.
Если a=0, то ρ=с. Интегральными кривыми являются окружности с центром в начале координат. В этом случае точка покоя называется центром.
С) λ1=λ2 .
1) λ1=λ2 <0.
.
2) λ1=λ2 >0.
неустойчивый вырожденный узел.