- •51. Организация файловой системы fat
- •52. Организация файловой системы ext2
- •53. Язык регулярных выражений и его применение, шаблоны имен файлов
- •2)Символы – квантификаторы(повторители):
- •54. Пользовательский интерфейс ос
- •55. Язык сценариев ос
- •56. Процессы и механизмы многозадачности
- •57. Переменные величины в яп, их атрибуты, время жизни, область видимости
- •58. Типы данных в яп
- •59. Алгоритмы обработки массивов
- •60. Выражения и операции. Перегрузка операций.
- •61. Операторный базис языков программирования.
- •62. Функция как средство структурирования программы.
- •69. Механизмы создания и уничтожения объектов
- •70. Наследование в яп
- •Виртуальные функции
- •Синтаксис шаблона функции
- •Примеры определений шаблонов функций
- •Прототип шаблона функции
- •Использование шаблона функции
- •Специализация шаблонов функции
- •Шаблоны классов
- •Синтаксис шаблона класса
- •Пример определения шаблона класса
- •Использование шаблона класса
- •Векторы
- •Уравнение прямой
- •Общее уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.
- •Общее уравнение плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Уравнение поверхности:
- •35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
- •Простейшие типы точек покоя. Автономные динамические системы двух уравнений первого порядка. Типы особых точек на фазовой плоскости
- •39. Алгебра логики.
- •3. Основные законы логики.
- •5. Нормальные формы. Совершенные нормальные формы.
- •6. Арифметические операции в алгебре логики. Полином Жегалкина.
- •7. Полнота и замкнутость (примеры полных систем). Теорема Поста.
- •Вопрос 40 Графы и их свойства
- •41. Маршруты в графах и деревья.
- •42. Сети и алгоритмы на сетях.
- •43. Вероятность случайного события. Основные свойства вероятности.
- •44. Случайные величины и законы их распределения.
- •45. Числовые характеристики случайных величин.
- •46. Методы проверки статических гипотез.
- •47. Математические модели операций.
- •48. Матричные игры.
- •49.Линейное программирование. Симплекс-метод.
- •50. Выпуклое программирование.
- •2) Различные формы условий оптимальности.
- •74. Проектирование структуры реляционной базы данных. Метод er-диаграмм (сущность-связь).
- •75. Языки описания запросов. Язык sql.
- •Select [all | distinct] –команда выборки данных
Углы между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.
Пусть в пространстве даны две непараллельные прямые и . Возьмем произвол. точку А пространства и проведем через нее прямые и соответственно параллельные прямым и . Прямые иобразуют четыре угла с вершиной А. Каждый из этих углов называется углом между прямымии . Если и - направляющие векторы данных прямых и , то угол между этими прямыми вычисляется по формуле: Условие перпендикулярности двух прямых:
Прямая d параллельна плоскости тогда, когда вектор параллелен плоскости и точка не лежит в этой плоскости :
- прямая лежит в плоскости.
- прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку.
Пусть прямая d имеет направляющий вектор, а плоскость - уравнение Угол между между прямой d и плоскостью : или
Общее уравнение плоскости
, (1)
где
Любая плоскость есть поверхность первого порядка.
Расстояние от точки до плоскости : .
, - параллельные плоскости.
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла, и любой из этих углов называется углом между данными плоскостями. Т. к. векторы и перпендикулярны данным плоскостям, то угол равен:
Плоскости -перпендикулярны тогда, когда Т.е., когда
Уравнение плоскости
Рассмотрим плоскость . Множество L всех векторов, параллельных плоскости , является двумерным векторным подпространством трехмерного векторного пространства V. Подпространство L назовем направляющим подпространством плоскости .
Уравнение плоскости, заданной точкой и направляющим подпространством. Пусть в аффинной системе координат заданы своими координатами точка и два неколлинеарных вектора: и . Уравнение плоскости , проходящей через точкуи имеющей направляющее подпространство:(1)
Уравнение плоскости, заданной тремя точками.
Уравнение плоскости, заданной точкой и перпендикулярным вектором. Говорят, что вектор перпендикулярен плоскости , если вектор перпендикулярен любому вектору из направляющего подпространства плоскости . Точка принадлежит плоскоститогда, когда векторы и ортогональны, т. е. их скалярное произведение =0: .Уравнение: (3)
Параметрическое уравнение плоскости.Пусть плоскость проходит через т. и имеет направляющее подпространство с базисом , . Точка принадлежит плоскоститогда, когда: (4)
Равенства (5) называются параметрическими уравнениями плоскости , а - параметрами.
Уравнение поверхности:
35. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
Устойчивость решений по Ляпунову
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
(i = 1…n).
, где y – вектор с координатами (y1,…,yn), y = (y1,…,yn), f = (f1,…,fn). Норма: Пусть начальные данные задаются при x = x0.
Опр: решение y = y0(x) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, при , если > 0 , x ≥ x0 для любого решения этой системы.
|| y(x) – y0(x)|| <при || y(x0)– y0(x0)| <.
Если, кроме того, при достаточно малых || y(x) – y0(x)||, то решение (2) называется асимптотически устойчивым при . При этом предполагается, что функция y0(x) определяется для всех x ≥ x0, а система (1) определена в некоторой окрестности y = y0(x), вида: || y(x) – y0(x)|| < M при x ≥ x0.
Очевидно, всегда можно рассматривать случай y0(x)0, взяв вместо y(x) новую неизвестную функцию y(x) – y0(x). Функции fi, yi и х считаются действительными.
Устойчивость означает, что малые изменения начальных условий приводят к малому отличию решений при x ≥ x0, а асимптотическая устойчивость означает, что при малом отличии начальных данных, решения неограниченно приближаются к y0(x) при .
Пример 1: (a = const, a ≠ 0). Начальное условие: y(x0) = y0.
Решение: y(x0) = 0, y = 0.
Решение устойчиво асимптотически.
При исследовании устойчивости и асимптотической устойчивости важную роль играет теорема Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости:
Пусть для некоторого > 0 правая часть системы (1)определена и непрерывна при и || y || < и f(x, 0)0. Пусть при тех же значениях y существует непрерывно дифференцируемая «функция Ляпунова»: V(y) ≥ 0 и равна нулю лишь в начале координат.
а) Если то нулевое решение y(x) 0 системы (1) устойчиво.
б) Если где ≥ 0 – некоторая непрерывная функция (W(0)=0, W(y)≠0 при y≠0), равна нулю лишь в начале координат, то нулевое решение асимптотически устойчиво.
Теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть n=2 и пусть линии V=c (c=const) замкнутые линии, содержащие начало координат. Причем линия с меньшим значением с лежит внутри линии с большим значением с. Тогда (3) означает, что интегральные линии, имеющие общую точку с линией V=c, не выходят из области, ограниченной этой линией. Откуда и следует устойчивость нулевых решений y1 0, y2 0 (т.е. начало координат на плоскости y1, y2).
При выполнении более сильного условия (4), интегральные линии пересекают линию Vc снаружи внутрь (см. рис.), т.к.
( > 0).
, следовательно, все интегральные линии, при , → к началу координат, что означает асимптотическую устойчивость нулевого решения.
Теорема Четаева о неустойчивости:
Если существует дифференцируемая функция V(y), удовлетворяющая в некотором замкнутом шаре Tr условиям:
в сколь угодно малой окрестности U начала координат область U0, в которой V>0, причем V=0 на лежащей в U части границы U0;
в области U0 производная , причем в области, где , производная ,
то нулевое решение системы (1) неустойчиво. y1 0, y1 0,…,yn 0.
Зад.Исследовать на устойчивость нулевое решение системы:
Пример 1: (– эта пара функций образует нулевое решение системы)
(функция V-неотрицательная, имеет непрерывные частные производные, обращается в 0 в единственной точке)
Условие (3) выполнено, нулевое решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет. Интегральными линиями будут окрестности, которые при не → к нулю.
Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным методом для широкого круга задач теории устойчивости. Недостаток метода в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа для нахождения функций Ляпунова.
В простейших случаях функции Ляпунова следует искать в виде:
Пусть функции (1) fi имеют вид:
где
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению:
Пусть
При всех x ≥ x0 и при всех y, с достаточно малой нормой ||y||, норма (α, М - const), и функции gi непрерывны по совокупности переменных. Тогда, если действительные части всех корней уравнения | λE – A | = 0 отрицательны, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. Если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то нулевое решение не устойчиво. Без док-ва.
Для определения знака действительной части корня уравнения | λE – A | = 0 нет необходимости решать это уравнение. Определитель нужно раскрыть и записать его в виде многочлена относительно λ: Для того, чтобы действительные части всех корней уравнения (5) были положительными, н. и д. выполнение одного из условий:
а) условие Гаусса – Гурвица: положительны все главные миноры матрицы Гурвица:
б) условие Льенара – Шипора: ai > 0 (i=1…n), миноры ∆n-1 > 0, ∆n-3 >0, ∆n-5 >0,… .
∆1 = , ∆2 = ∆3 = ,… .