Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-8
.pdf
Примеры
n = 1
Базисы e и f одноимённы, т.е. одинаково ориентированы,
т.к. e = f и > 0 .
Базисы g и h тоже одинаково ориентированы.
Все другие пары базисов ориентированы по-разному.
Т.о., выбор ориентации в одномерном пространстве это выбор направления.
Именно ориентированную прямую мы можем превратить в числовую прямую.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
21 / 37 |
n = 2
Базисы e; f и f; e |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 . |
||||
ориентированы по-разному |
f |
e = |
e |
f |
||||
Базисы e; f и e; h |
тоже по-разному ориентированы: |
|
|
|||||
e h = e f |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
< 0 . |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|||
Базисы f; e и e; h одинаково ориентированы.
Базис ej; ek одинаково ориентирован либо с базисом e; f ; либо с базисом f; e .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
22 / 37 |
С каждым базисом на плоскости свяжем направление вращения на этой плоскости, как такое вращение при котором надо вращать первый вектор ко второму по кратчайшему пути для совмещения их направлений.
Упражнение
Одноимённые базисы на плоскости задают одно и то же направление вращения; разноимённые противоположное.
Поэтому выбор одной из двух ориентаций на плоскости это выбор направления вращения.
Обычно выбирают вращение против часовой стрелки.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
23 / 37 |
Рассмотрим ещё раз, обсуждавшиеся примеры, используя сформулированное утверждение.
Базисы e; f и f; e ориентированы по-разному.
Базисы e; f и e; h тоже по-разному ориентированы.
Базисы f; e и e; h одинаково ориентированы.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
24 / 37 |
n = 3
Базисы e1; e2; e3 и f1; f2; f3 ориентированы по разному,
|
f1 f2 f3 = e1 |
e2 e3 |
20 |
1 |
0 3 . |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
40 |
0 |
15 |
Ориентация базиса e1; e2; e3 называется правой.
Ориентация базиса f1; f2; f3 называется левой.
Обычно, правая ориентация выбирается в качестве положительной.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
25 / 37 |
Упр.
Из трёх векторов a; b; c можно составить шесть упорядоченных троек.
Убедиться в том что, базисы |
|
||
a b c |
b c a |
c a b |
правые , |
а базисы |
|
|
|
b a c |
a c b |
c b a |
левые . |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
26 / 37 |
Резюме
Некоторое следствие ортогонализации Грама–Шмидта для матриц
Утверждение
Для любой матрицы G = G> > 0 , существует единственная невырожденная верхняя треугольная матрица B
с положительными диагональными элементами : G = B>B .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
27 / 37 |
Определение
Квадратная матрица Q называется ортогональной, если Q>Q = I.
Q>Q = I () Q 1 = Q>.
Множество всех ортогональных матриц порядка n
обозначается O(n) .
Утверждение
Матрица перехода Q, связывающая два ортонормированных базиса ортогональна.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
28 / 37 |
Справедливо обратное утверждение.
Утверждение
Пусть векторы h1; h2; : : : ; hn образуют ортонормированный базис. И векторы he1; he2; : : : ; hen построены с помощью формулы
hi
he1 he2 hen = h1 h2 hn Q ,
в которой матрица Q ортогональна, тогда векторы he1; he2; : : : ; hen тоже образуют ортонормированный базис.
Итак, ортогональные матрицы это в точности матрицы перехода, 
ортонормированных базисов.
Утверждение
Если Q ортогональная матрица, то det Q = 1 .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
29 / 37 |
Геометрический смысл условия Q>Q = I
Столбцы ортогональной матрицы Q ортонормированы (в "обычном" скалярном произведении).
Матрица Q ортогональна () матрица Q> ортогональна, 
т.е., |
Q>Q = I |
() |
Q Q> = I |
. |
|
|
Строки ортогональной матрицы Q тоже ортонормированы
Множество ортогональных матриц порядка n образует группу. 
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
30 / 37 |