Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-8
.pdf
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a1n |
3 |
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
A = |
2a21 |
a22 |
a2n |
не вырожденная матрица |
|||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
det A 6= 0. |
||||||
|
|
|
6an1 an2 |
|
ann7 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1j |
7 |
|
|
R |
|
||
Будем рассматривать её столбцы |
6 |
= ej |
как векторы из |
n. |
||||||||||||
2a2j |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6anj |
7 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
По предположению вектор-столбцы |
e1; e2; : : : ; en |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
e2 |
|
|
|
|
|
||
линейно независимы и A = |
en . |
|
|
|||||||||||||
Применим к вектор-столбцам e1; e2; : : : ; en |
|
|
|
|||||||||||||
процесс ортогонализации Грама–Шмидта, получим |
|
|
||||||||||||||
|
e2 |
|
en |
|
|
h2 |
|
|
|
|
R , |
(1) |
|
|
||
e1 |
= |
h1 |
|
hn |
|
|
||||||||||
где |
R – верхняя треугольная матрица с положительными элементами |
|||||||||||||||
на диагонали, а |
|
h1 |
h2 |
|
hn |
|
df |
|
|
|
|
|||||
|
|
= Q матрица, |
|
|
||||||||||||
столбцы которой |
ортонормированы, т.е., |
Q>Q = I и значит, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Q ортогональная матрица.
Формула (1) принимает вид A = QR
Определение
Разложение A = QR ,
где Q ортогональная матрица,
а R верхняя треугольная матрица, называется QR–разложением матрицы A
Мы доказали
Утверждение
Любая невырожденная матрица A обладает QR–разложением
Это утверждение имеет важное значение в вычислительной математике.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
12 / 37 |
Пример. Рассмотрим в качестве векторного пространства V многочлены степени не выше n .
p(t) = p0tn + p1tn 1 + + pn 1t + pn ,
dim V = n + 1 .
Пусть q(t) другой многочлен
q(t) = q0tn + q1tn 1 + + qn 1t + qn .
Скалярное произведение можно определить формулой:
h p(t); q(t) i = p0q0 + p1q1 + + pnqn .
Мономы tn; tn 1; t; 1 образуют базис, и этот базис является ортонормированным в указанном скалярном произведении.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
13 / 37 |
Определим скалярное произведение формулой:
1 |
1 |
|
|
Z |
|
||
h p(t); q(t) i = |
|
p(t) q(t) dt . |
|
2 |
|||
|
|
1 |
|
Проверить, что это скалярное произведение.
Базис из мономов tn; tn 1; t; 1
не являeтся ортонормированными в этом скалярном произведении. (Указать матрицу Грама этого базиса.)
Показать, что ортонормированный базис образуют полиномы:
|
p |
|
|
dk |
|
|
2k + 1 |
||||
pk(t) = |
|
|
|
(t2 1)k. |
|
2k k ! |
dtk |
||||
Они называются полиномами Лежандра и играют важную роль в математике, в частности, при решении дифференциальных уравнений с частными производными.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
14 / 37 |
Ориентация базиса
К понятию ориентации векторного пространства мы прийдём, разделив всех базисы этого пространства на два класса.
И здесь мы снова предполагаем, что основным полем является поле вещественных чисел R .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
15 / 37 |
Пусть в векторном пространстве V имеется два базиса
e1; e2; : : : ; en и f1; f2; : : : ; fn.
Их можно связать матрицей перехода C
f1 |
f2 fn = e1 e2 en C ; |
det C 6= 0 . |
Т.к., |
det C = t 2 R, то либо det C > 0 , |
либо det C < 0 ! |
Определение
Базисы e1; e2; : : : ; en и f1; f2; : : : ; fn
называются одноимёнными , если det C > 0
и разноимёнными , если det C < 0 .
Одноимённые базисы называются также одинаково ориентированными.
Разноимённые базисы противоположно ориентированными.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
16 / 37 |
Выберем и зафиксируем один базис e1; e2; : : : ; en . Разобьём все базисы на два семейства:
I одноимённые с базисом e1; e2; : : : ; en
II разноимённые с этим базисом.
Покажем, что все базисы первого семейства одноимённы между собой.
В с.д., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
f1 |
f2 |
fn = e1 |
e2 |
en C ; |
det C > 0 |
=) |
||||||
< |
h1 h2 |
|
hn |
= e1 |
e2 |
|
en B ; |
det B > 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
: |
= |
|
8 f1 f2 fn = h1 h2 |
hn B 1C , |
|
||||||||
|
) |
|
> |
|
det |
B 1C = |
|
det C > 0 |
|
|
|||
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
det B |
|
|
||||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
17 / 37 |
Покажем, что и базисы второго семейства тоже одноимённы между собой.
Действительно, |
fn = e1 |
|
|
en C ; |
|
|
|||||||
8 |
f1 |
f2 |
e2 |
|
det C < 0 |
=) |
|||||||
< |
h1 |
h2 |
|
hn = e1 |
e2 |
|
en |
|
B ; |
det B < 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
: |
|
8 |
|
f1 f2 |
|
fn = |
h1 h2 |
|
|
hn B 1C ; |
|
||
= |
|
|
|
|
|
det C |
|
|
|
||||
) |
> |
|
|
det |
B 1C |
= |
|
> 0 . |
|
|
|||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
Аналогично доказывается что, базисы из разных семейств разноимённые.
Т.о., мы разбили все базисы на два семейства: 
базисы принадлежащие одному семейству одноимённы между собой; базисы принадлежащие разным семействам разноимённы между собой.
Ясно, что проделанное разбиение базисов на два семейства не зависит от выбора первоначального базиса e1; e2; : : : ; en .
Замечание
Фактически мы показали, что понятие одноимённости базисов
является отношением эквивалентности.
Определение
Выбрать ориентацию, это означает, одно из двух семейств одноимённых базисов назвать положительно ориентированным, а другое отрицательно ориентированным.
Определение
Векторное пространство в котором выбрана ориентация называется ориентированным.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 8 |
22 октября 2011 г. |
19 / 37 |
Замечание к методу ортогонализации Грама-Шмидта.
По имеющемуся в евклидовом пространстве V базису e1; e2; : : : ; en ,
мы построили ортонормированный базис
h1; h2; : : : ; hn ; hhj; hki = jk :
e1 e2 en = h1 h2 hn B ,
причём, матрица перехода B получилась треугольная
|
2 0 |
b22 |
b23 |
|
b2n 3 |
|
||
|
6 |
b11 |
b12 |
b13 |
|
b1n |
7 |
|
B = |
0 |
0 |
b33 |
|
b3n |
и bjj > 0 . |
||
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
6 |
0 |
0 |
0 |
|
bnn7 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
Поэтому, |
det B = b11 b22 b33 bnn > 0 . |
|||||||
Значит, базисы e1; e2; : : : ; en и h1; h2; : : : ; hn одинаково ориентированы.
Т.о., ортогонализация Грама-Шмидта не меняет ориентации базиса. 