Вариант №9
Задача №1
Точки
,
,
и
являются вершинами тетраэдра.
1. Поверить,
что точки
,
,
,
не лежат в одной плоскости.
2. Найти:
– объём тетраэдра;
– длину
высоты тетраэдра, опущенной из вершины
;
– расстояние
между скрещивающимися рёбрами
и
;
– уравнение
плоскости, проходящей через точки
,
,
.
Задача №2
Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений при всех действительных
значениях параметра
.
Задача №3
Составить
уравнение параболы в канонической
системе координат, если парабола проходит
через точку
.
Задача №4
Вычислить пределы
а) 
;
б)
.
Задача №5
Найти производные следующих функций
а) 
;
б)
.
Задача №6
Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики
а) 
;
б)
.
Задача №7
Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных
.
Задача №8
Найти экстремумы функции
при
условии
.
Задача №9
Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница
а) 
;
б)
;
в)
.
Задача №10
Вычислить площадь, заключенную между линиями
,
и
.
Задача №11
Найти длину дуги кривой
.
Задача №12
Исследовать ряд на сходимость
.
Задача №13
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала
.
Задача №14
Разложить
в степенной ряд в окрестности точки
,
функцию
.
Вариант №10
Задача №1
Точки
,
,
и
являются вершинами тетраэдра.
1. Поверить,
что точки
,
,
,
не лежат в одной плоскости.
2. Найти:
– объём тетраэдра;
– длину
высоты тетраэдра, опущенной из вершины
;
– расстояние
между скрещивающимися рёбрами
и
;
– уравнение
плоскости, проходящей через точки
,
,
.
Задача №2
Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений при всех действительных
значениях параметра
.
Задача №3
Составить
уравнение эллипса в канонической системе
координат, если фокусами эллипса являются
точки
,
а точка
принадлежит эллипсу.
Задача №4
Вычислить пределы
а) 
;
б)
.
Задача №5
Найти производные следующих функций
а) 
;
б)
.
Задача №6
Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики
а) 
;
б)
.
Задача №7
Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных
.
Задача №8
Найти экстремумы функции
при
условии
.
Задача №9
Вычислить интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница
а) 
;
б)
;
в)
.
Задача №10
Вычислить площадь, заключенную между линиями
,
.
Задача №11
Найти длину дуги кривой
.
Задача №12
Исследовать ряд на сходимость
.
Задача №13
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на сходимость на концах этого интервала
.
Задача №14
Разложить
в степенной ряд в окрестности точки
,
функцию
.
Решение примерного варианта
Задача №1
Точки
,
,
и
являются вершинами тетраэдра.
1. Поверить,
что точки
,
,
,
не лежат в одной плоскости.
2. Найти:
– объём тетраэдра;
– длину
высоты тетраэдра, опущенной из вершины
;
– расстояние
между скрещивающимися рёбрами
и
;
– уравнение
плоскости, проходящей через точки
,
,
.
Решение
Найдём координаты векторов:
,
,
.
,
следовательно,
точки
не лежат в одной плоскости.
Объём тетраэдра:
.
Площадь
основания тетраэдра
:
.
Длина
искомой высоты
.
Расстояние
между скрещивающимися рёбрами
и
:
,
.
Точка
принадлежит прямой
,
– прямой
.
Тогда:
.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
.
Задача №2
Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений при всех действительных
значениях параметра
.
Решение
Из расширенной матрицы системы, после указанных элементарных преобразований строк получим:
По
критерию Кронекера-Капелли система
имеет решение только, если
.
Таким образом, если
– система
несовместна, если
система эквивалентна системе:
.
Система имеет бесконечное число решений вида:
.
Задача №3
Составить
уравнение гиперболы в канонической
системе координат, если в ней длина
вещественной оси равна 1, а точка
принадлежит гиперболе.
Решение
Уравнение гиперболы в канонической системе координат:
.
Из
условия имеем, во-первых,
,
а во-вторых
.
Отсюда
,
.
Таким образом, искомое уравнение имеет вид:
.
Задача №4
Вычислить пределы:
а) 
;
б)
.
Решение
а) 
.
Так
как
.
б) 
,
сделаем замену переменной
.
Очевидно,
равносильно
.
Кроме того,
и
.
Но
известно, что
,
,
,
поэтому
.
Задача №5
Найти производные следующих функций
а) 
;
б)
.
Решение
а) 
,
это тождественное равенство в области
определении функции
.
Поэтому, дифференцируя обе части
равенства, с учётом, что
– функция
переменной
имеем
;
.
б) 
.
Задача №6
Для следующих функций провести их полные исследования средствами дифференциального исчисления и построить их графики
а) 
;
б)
.
Решение
а) 
,
,
.
1. Область
определения функции
.
2. 
.
При этом знак производной в левой
окрестности точки
положительный, а в окрестности правой
– отрицательный. Следовательно,
– точка
локального максимума и
.
В точке
экстремума нет.
Промежуток
возрастания:
,
т.к.
.
Промежуток
убывания:
,
т.к.
.
3. 
.
При этом
при
и
,
если
.
Следовательно,
– точка
перегиба графика функции. На промежутке
– функция
выпукла вверх.
На
промежутке
– функция
выпукла вниз.
4. Асимптоты
–вертикальная
асимптота.
,
,
–наклонная
асимптота при
.
График функции изображен на рисунке 1.
Рисунок 1
б) 
.
1. Область
определения
.
2. 
,
,
.
В точке
не существует, точка
– локальный
максимум; точка
– локальный
минимум.
Промежуток
возрастания:
,
т.к.
.
Промежуток
убывания:
,
т.к.
.
Рисунок 2
3. 
,
,
если
и
,
если
.
Точка
– точка
перегиба с вертикальной касательной к
графику функции в этой точке.
На
промежутке
– функция
выпукла вниз, на промежутке
– функция
выпукла вверх.
4. 
,
.
–наклонная
асимптота. График функции изображен на
рисунке 2.
Задача №7
Исследовать на экстремум следующую функцию двух переменных
.