§ 5. Применение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: задачи из физики.

Задачи из физики интересны тем, что они «моделируют» процессы исследования физического явления, демонстрируют возможности математического анализа при решении физических (и инженерных!) задач. Также важно то, что общее решение в таких задачах воспринимается как общий метод решения (как расчетная формула), а частное решение – как применение решения к конкретным условиям физического процесса.

☺☺

Пример 1–21: Пуля, двигаясь со скоростью =400 м/с, пробивает стену толщиной =20 см и вылетает из нее со скоростью =100 м/с. Принято, что сила сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули. Необходимо найти время движения пули в стене.

Решение:

Направление оси координат и векторов скорости соответствуют рисунку. Учитывая, что сила сопротивления материала стены направлена против движения пули, в соответствии с законом Ньютона, запишем дифференциальное уравнение: .

1). Уравнение имеет тривиальное решение , которое для нас не представляет интереса. Считая , перепишем уравнение в виде: – уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим уравнение: .

2). Интегрируем уравнение : или (здесь учтено свойство произвольной постоянной величины!).

3). По условию задачи заданы начальные условия: в момент времени (момент касания пули с доской) скорость пули: =400 . Из формулы вычисляем: и записываем частное решение: – закон движения пули в доске при заданных начальных условиях.

4). По условию задачи скорость пули в момент вылета из доски равна =100 м/с. Используя закон движения пули в доске, запишем равенство: , откуда вычисляем: .

Замечание: Рассчитать время по формуле невозможно, так как неизвестно отношение массы к коэффициенту сопротивления доски .

5). Продолжим решение задачи. Учитывая: , перепишем закон движения пули в виде: , или в виде: . Для удобства, обозначим: и перепишем уравнение: . Разделим переменные: , или .

6). Интегрируя уравнение , получаем . Так как в момент времени координата , можем вычислить . Из формулы нетрудно получить выражение: . Тогда выражение для момента времени принимает вид: . Отсюда получаем значение коэффициента: .

7). Теперь можно записать формулу для вычисления времени движения пули в стене при заданных условиях: . Используя заданные скорости: =400 м/с, =100 м/с и =20 см, получим: .

Ответ: время движения пули в стене .

Замечание: Рассмотренная задача представляет большой интерес, так как каждый участник её решения повторяет опыт физика, исследующего сложный процесс:

1). Выбор модели физического процесса : сила пропорциональна квадрату скорости пули есть результат физических экспериментов.

2). Формула для вычисления также есть результат физических экспериментов. Она верна для конкретной пули и стены, причём для вычисления времени потребовалось измерение скорости на входе и на выходе доски.

Пример 1–22: Пусть имеется сосуд, наполненный жидкостью до уровня . Известна зависимость площади поперечного сечения от высоты : =. В дне сосуда имеется отверстие, площадь которого . Через это отверстие жидкость вытекает. Необходимо определить время , за которое уровень жидкости понизится с начального уровня до произвольного уровня . Также необходимо определить время полного опорожнения сосуда. Будем считать, что скорость v истечения жидкости из сосуда является известной функцией = от уровня жидкости в сосуде (напора).

Решение:

1). Пусть высота жидкости в сосуде в некоторый момент времени равна . Количество жидкости , вытекшее из сосуда за промежуток времени от момента до , можно вычислить как объём цилиндра с площадью основания и высотой , то есть: =.

2). С другой стороны, можем записать величину , наблюдая понижение уровня жидкости в сосуде, используя закон: =. В этом случае: =.

3). Приравнивая два выражения для , получаем дифференциальное уравнение: = – уравнение с разделяющимися переменными. Так как , уравнение можно переписать в виде: =–.

4). Интегрируя уравнение, получаем: =–=. Это значит, что полное истечение жидкости из сосуда произойдет за время: =.

Замечание: Если истечение жидкости происходит через малое отверстие (или короткий патрубок), то , где – ускорение силы тяжести, – эмпирический коэффициент (коэффициент расхода).

Ответ: время опорожнения сосуда до уровня h: t=. Время полного опорожнения сосуда потребует времени: =.

Пример 1–23: Определить время опорожнения сосуда конической формы, заполненного водой. Форма сосуда соответствует рисунку: =0.8M; =0.3M; =1M; =0.03M; =0.62 (для воды).

Решение:

Замечание: Воспользуемся результатами Примере-22. Также учтём, что при истечении жидкости через малое отверстие (или короткий патрубок), имеем , где – ускорение силы тяжести, – эмпирический коэффициент (коэффициент расхода).

1). Для определения площади свободной поверхности жидкости на уровне необходимо вычислить радиус круга на этом уровне. Используя подобие треугольников, выделяемых в трапеции, этот радиус легко найти:

==.

2). Используя исходные данные, запишем выражение для радиуса: = и далее для площади сечения на уровне : =.

3). Вычислим площадь отверстия, через которое вытекает жидкость: =.

4). Запишем выражение для скорости истечения жидкости для заданных условий:

==.

5). Теперь запишем формулу для вычисления времени опорожнения сосуда:

==.

Вычисляя несложный интеграл, принимая: , получаем время, за которое опорожнения сосуд опорожнился: и 14c.

Замечание: Если предполагается многократное применение расчетной формулы, то удобнее выполнить интегрирование в общем виде: =, после чего подставлять в эту формулу конкретные исходные данные.

Ответ: время истечения и 14c.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Имеем производную некоторой функции , что значит, функция есть первообразная для функции ?

2. Какое уравнение называют дифференциальным уравнением первого порядка?

3. Когда дифференциальное уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением?

4. Что называют общим видом дифференциального уравнения первого порядка?

5. Что называют нормальной формой дифференциального уравнения первого порядка?

6. Что значит решить дифференциальное уравнение?

7. Что такое решение дифференциального уравнения?

8. Что называют интегральной кривой дифференциального уравнения?

9. Что такое поле направлений дифференциального уравнения?

10. Что такое изоклины дифференциального уравнения?

11. Что называют общим решением уравнения?

12. Что такое начальные условия в задачах: решить уравнение?

13. Что значит решить задачу Коши?

14. Что называют частным решением уравнения?

15. Уравнение задано в нормальной форме: . Какие требования предъявляет Теорема о существовании и единственности решения в точке к функции ?

16. Что такое особые точки дифференциального уравнения? В каких случаях точка может быть особой?

17. В каких случаях решение дифференциального уравнения называют особым решением?

18. Какое уравнение называют уравнением с разделёнными переменными?

19. Когда уравнение, записанное с использованием дифференциалов переменных и , называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

20. Когда уравнение, записанное с использованием нормальной формы , называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

21. Как проверить, является ли функция решением заданного дифференциального уравнения 1-го порядка? Применить два способа проверки?

22. Как построить поле направлений дифференциального уравнения без применения и с применением изоклин?

23. Известно общее решение дифференциального уравнения. Как, имея заданные начальные условия , выделить соответствующее частное решение? Если короче: как решают задачу Коши?

24. Пусть задано семейство кривых: , где - параметр. Каксоставитьдифференциальное уравнение,решением которогоявляется это семейство?

25. Как решают уравнение, заданное в форме ?

26. Как решают уравнение, заданное в форме ?

27. Как решают уравнение, заданное в форме ?

28. Показать в виде эскиза разновидности особой точки (0,0): узел, дикритический узел, седловина, центр.

29. Воспользовавшись эскизом произвольной кривой линии , назвать и показать все характерные отрезки кривой линии.

30. Как применяют дифференциальное уравнение 1-го порядка для решения геометрических задач?

31. Как применяют дифференциальное уравнение 1-го порядка для решения физических задач?

• ◄ ≡ ► •