Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пособие по Дифф.Урам КАЧАТЬ ЭТО / ДУЭТМО-теор-Глава-1.doc
Скачиваний:
106
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
3.23 Mб
Скачать

38

Часть 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Глава 1. Общие сведения. Теорема о существовании и единственности решения ду 1-го порядка. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

§ 1. Общие сведения. Теорема о существовании и единственности решения ду 1-го порядка.

1.1. Определение и формы записи дифференциального уравнения.

Во введении отмечено, что уравнение, содержащее , где есть некоторая функция независимой переменной , называют дифференциальным уравнением. Запись вида:

=0 (1)

называют общим видом дифференциального уравнения первого порядка, так как в это уравнение входит только производная 1-го порядка. Если уравнение (1) удаётся разрешить относительно производной : , (2)

такое уравнение называют нормальной формой записи дифференциального уравнения первого порядка. Если учесть, что , то уравнение (2) можно записать в виде:

. (3)

Запись уравнения (3) называют дифференциальным уравнением 1-го порядка в форме, содержащей дифференциалы. Если допустить, что , уравнение (3) может быть записано в симметричной форме: . (4)

В записи (4) переменные и равноправны. Решая конкретные уравнения, мы будем встре­чать и такие, где удобнее решение находить в виде , а не в виде .

Учитывая записи (1)(4), запишем определение дифференциального уравнения первого порядка:

Определение:

(1.1)

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называют равенство, содержащее независимую переменную, искомую функцию и её производную 1-го порядка (или дифференциалы).

Замечания: 1). В конкретной записи уравнения в качестве независимой переменной может использоваться как так и (определяется удобством решения уравнения).

2). В записях (1)(4) используется функция одной независимой переменной. Такие дифференциальные уравнения называют обыкновенными.

1.2. Определение решения ду. Поле направлений и изоклины уравнения. Задача Коши.

Говорят – если записано уравнение, его нужно решить. Что значит решить дифференциальное? – это значит нужно найти все его решения! А что такое решение дифференциального уравнения? – это любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнения, обращает его в тождество! Отметим особенность множества решений дифференциального уравнения: их бесчисленное множество.

Применим понятие решение к дифференциальному уравнению , описывающему свободное падение тела в поле тяготения Земли. Допустим, что решения этого уравнения мы ещё не имеем, и предложено проверить может ли функция быть решением уравнения . Вычислив производную функции и подставив её в уравнение , получим: – тождество. Это значит, что функция: есть решение уравнения . Так же просто убеждаемся, что функция не является решением уравнения , так как в этом случае подстановка её в рассматриваемое уравнение имеет результат: , что не есть тождество. В рассматриваемом примере бесчисленность множества решений проявляется в записи : при любом вещественном значении величины имеем решение уравнения .

Возникает вопрос – А нельзя ли, имея дифференциальное уравнение, предвидеть его решение? Обратимся ещё раз к уравнению , воспользовавшись системой координат : пусть по оси отмечается время наблюдения свободного падения тела, а по оси наблюдаемая в момент времени скорость падения тела. На плоскости выделим произвольную точку . Имея уравнение , где , мы можем предполагать, что его решение может быть записано в виде функции: . График этой функции называют интегральной кривой дифференциального уравнения: . Известно, что число: есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке: . Направление касательной к кривой будем отмечать стрелкой. Сместимся по этой стрелке на шаг переменной . В математическом анализе показано, что выбирая шаг достаточно малым, мы, с достаточной точностью, попадём в точку кривой, заданной функцией: . Но, в точке направление касательной (то есть стрелки) совпадает с направлением в точке : . Сместимся ещё на шаг в направлении стрелки: попадём в точку : в точке направление касательной (то есть стрелки) совпадает с направлением в точке : . И так далее... Соединив точки: ,,... линией, получим одну из интегральных кривых (одно из решений) дифференциального уравнения: . Только прямая линия имеет постоянный угловой коэффициент касательной. Это значит, что через любую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая (решение) уравнения: прямая, угловой коэффициент которой равен . Таким образом, не решая уравнение , мы предсказали его решение: .

Если известно, что при значении начальная скорость движения тела при свободном падении равна , то интегральная кривая уравнения определяется функцией – пря­мая, проходящая через точку . Рассмотренный пример показывает, как имея дифференциальное уравнение, можно построить одно из бесчисленного множества его решений.

Для выявления общих свойств множества решений дифференциальных уравнений 1-го порядка рассмотрим уравнение в виде выражения: .

В прямоугольной системе координат выделим точку . Пусть решением уравнения есть функция: интегральная кривая этого уравнения. Как и в рассмотренном выше примере, число будем рассматривать как угловой коэффициент касательной к кривой в выделенной точке плоскости , определяющий некоторое направление. Таким образом, для любой точки плоскости , принадлежащей области определения функции , уравнение устанавливает направление, то есть порождает поле направлений. В каждой точке этого поля направление отметим стрелкой.

Как и в рассмотренном, частном, примере, задачу интегрирования дифференциального уравнения, то есть нахождения множества интегральных кривых, можно проиллюстрировать, рассмотрев построение одной из интегральных кривых, исходящей из произвольной точки : выбрав достаточно малый шаг переменной , перемещаемся по стрелке в точку интегральной кривой , из точки перемещаемся по стрелке в точку этой кривой. И так далее... Соединив точки ,,... плавной кривой линией (скажем, с помощью лекала), получим одну из интегральных кривых (одно из решений) дифференциального уравнения .

Замечание: Рассмотренный способ графического нахождения одной из интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка называется методом ломаных Эйлера. Этот метод позволяет найти приближённое решение уравнения, причём, тем точнее, чем меньше шаг . На практике указанный способ применяют не в графической форме, а в численной!

Процесс построения поля направлений можно существенно усовершенствовать, если воспользоваться изоклинами – кривыми линиями, каждая точка которых отражает одно и то же направление поля направлений. Для построения на плоскости изоклины поля направлений, соответствующей угловому коэффициенту , нужно построить график функции: . Выбирая на построенном графике достаточное число точек, отмечаем в каждой из них направление поля, соответствующее угловому коэффициенту . Построив несколько изоклин с отмеченными направлениями поля, можно получить вполне приемлемое представление о множестве решений (интегральных кривых) заданного дифференциального уравнения.

Анализируя процесс построения поля направлений для любого уравнения , приходим к выводу: каждое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений!

Для иллюстрации применения изоклин и поля направлений рассмотрим несколько примеров для конкретных дифференциальных уравнений.

☺☺

Пример 101: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: .

Решение:

1). Если принять , то уравнение изоклины для заданного уравнения: – уравнение окружности, радиус которой равен . Для примера ограничимся значениями: , , и . На рисунке этим значениям соответствуют окружности радиусов: , и .

2). Из произвольных точек окружностей (изоклин) проводим стрелки: для окружности радиуса с угловым коэффициентом , для окружности радиуса с угловым коэффициентом и для окружности радиуса с угловым коэффициентом .

3). Используя набор лекал различной кривизны, построим интегральные кривые, пересекающие каждую из окружностей-изоклин под определённым углом: первую под углом, определяемым угловым коэффициентом, вторую под углом, определяемым угловым коэффициентом и третью под углом, определяемым угловым коэффициентом.

Ответ: на рисунке показаны три интегральных кривых.

Пример 102: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: .

Решение:

1).Уравнение изоклин для заданного дифференциального уравнения получается приравниванием . В нашем случае каждая изоклина – прямая: . Задавая целые значения углового коэффициента в диапазоне: , получаем множество изоклин в виде параллельных прямых линий. На рисунке изоклины имеют синий цвет. На каждой изоклине черточка (зеленая) отражает конкретное значение , определяющее изоклину.

2). Черточки играют роль железных опилок в опытах по физике: они показывают направление поля в выделенных точках. Возникает зрительный образ, который определяет присутствие множества некоторых кривых, касательные к которым мы и видим. Одна из таких кривых выделена «красным» цветом. Это и есть приближенно выделяемая интегральная кривая, то есть решение, заданного дифференциального уравнения.

Ответ: на рисунке показана одна интегральная кривая.

Итак, анализ множества возможных решений дифференциального уравнения 1-го порядка в виде: показал, что в области определения функции дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, чему на плоскости соответствует бесчисленное множество интегральных кривых. Этот факт можно было предвидеть, учитывая, что для нахождения решения ДУ применяется интегрирование, которое порождает произвольную постоянную величину интегрирования. Это значит, что решение ДУ 1-го порядка должно быть записано в виде функции , или, в общем случае, в виде: .

Определение:

(1.2)

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка, зависящее от произвольной постоянной величины , называется общим решением уравнения. Общее решение определяет бесчисленное множество интегральных кривых уравнения.

Для выделения одной из интегральных кривых (одного из решений ) из общего решения уравнения нужно указать начальную точку этой кривой (начальные условия): при значении функция принимает значение .

Выделить из общего решения интегральную кривую (решение), удовлетворяющую начальным условиям – это значит решить задачу Коши. Аналитически это представляется в виде задачи: решить уравнение относительно неизвестной величины . Пусть решением уравнения есть число . Тогда решение уравнения, записанное в виде: , называется частным решением.

Определение:

(1.3)

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка, полученное из общего решения при некотором (частном) значении произвольной постоянной величины , называется частным решением уравнения. Частное решение определяет одну из множества интегральных кривых уравнения.

Известно, что уравнение относительно неизвестной может иметь несколько решений. Геометрически это можно представить так: из точки выходит несколько интегральных кривых. Так как всякое дифференциальное уравнение есть математическая модель некоторого реального процесса, то это значит, что в выделенной точке процесс неустойчив: под действием некоторых факторов процесс может развиваться по-разному.

Представляет интерес, имея дифференциальное уравнение , определить какими свойствами должна обладать функция , чтобы через каждую точку , принадлежащую области определения функции , проходила только одна интегральная кривая. Эту задачу решает теорема о существовании и единственности решения, определяемого начальными условиями: .