2.3. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными.

В разделе 2.1 настоящего параграфа показаны две основные формы записи ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными:

: уравнение представлено выражением .

: уравнение представлено выражением .

Целесообразно включить в состав уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными уравнение, легко проводимое к уравнению с разделяющимися переменными:

: уравнение представлено выражением .

2.3.1. Решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: .

Для решения уравнения, представленного в форме , будем использовать стандартный алгоритм:

1). Если возможно равенство: , тоявляется решением заданного уравнения − прямая, параллельная оси. Это решение необходимо учесть при записи ответа.

2). Считая , запишем уравнениев виде равенства:, которое можно интегрировать, считая, что.

3). Применяя интегрирование, получаем общее решение для дифференциального уравнения, заданного в форме :, то есть.

4). Если в задании указаны начальные условия: , то предполагается ещё найти частное решение (решить задачу Коши) уравнения. В точкемогут быть нарушены условия существования и единственности решения: в этом случае необходимо провести соответствующие обоснования!

5). Запишем все решения заданного дифференциального уравнения и укажем все особые точки уравнения (и особые решения), если они имеются, в Ответ.

☺☺

Пример 1–13: Решить дифференциальное уравнение: . Исследовать множество решений уравнения, применяя Теорему о существовании и единственности решения.

Решение:

1). Так как правую часть уравнения есть произведение: , гдеи, то заданное уравнение соответствует форме.

2). Так как имеет место равенство: , тоявляется решением заданного уравнения − прямая: ось. Это решение необходимо учесть при записи ответа.

3). Примем и запишем уравнениев виде равенства:. В нашем случае это равенство записывается в виде:=–.

4). Интегрируя равенство: =–, получаем общее решение для дифференциального уравнения:, или.

Замечание: Переход от записи к записи представим поэтапно в виде последовательных шагов: → → , где сначала учтено требование , а затем свойство произвольной постоянной, согласно которому величины , , − эквивалентны!..

5). Прежде всего, отметим, что областью определения функцииявляется множество точек плоскости, определяемое условиями;. В области определениянеобходимые условия теоремы о существовании и единственности решения выполнены. Множество решений уравнения: интегральные кривые:и отрезок оси абсцисс, полученное при решении уравнения, соответствует утверждению теоремы.

Ответ: семейство кривых:,; уравнение особых точек не имеет.

Замечание: Форма записи общего решения: формально позволяет учесть и решение , если допустить в записи общего решения значение . Такое объединение решений определяется удобством использования решений уравнения!

Пример 1–14: Решить дифференциальное уравнение: . Исследовать множество решений уравнения, применяя Теорему о существовании и единственности решения.

Решение:

1). Так как правую часть уравнения есть произведение: , гдеи, то заданное уравнение соответствует форме.

2). Перепишем уравнение в виде равенства:. В нашем случае это равенство записывается в виде:.

3). Интегрируя равенство: , получаем общее решение для дифференциального уравнения: +=, или.

Замечание: Учтено: = [интегрирование по частям]= , аналогично вычислен интеграл: =.

4). Прежде всего, отметим, что областью определения функцииявляется множество всех точек плоскости, исключая точки:, где. В области определениянеобходимые условия теоремы о существовании и единственности решения выполнены. Интегральные кривые:полученные при решении уравнения, соответствуют утверждению теоремы.

Ответ: семейство кривых; уравнение особых точек не имеет.

☻