76 Ду. Занятия 9-13
Часть 2. Дифференциальные уравнения (ду) n-го порядка.
Занятие 9. Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 211, 215, 219, 235, 239, 241, 245, 251. |
8 |
☺ ☻ ☺
Известно, что при
нахождении корней многочлена
-
го порядка понижение порядка многочлена
на несколько единиц существенно понижает
общую трудоёмкость нахождения всех
корней многочлена!.. В общей теории
многочленов разработаны методы
последовательного нахождения корней:
теоремы Безу, Виета и другие!..
При решении дифференциальных уравнений - го порядка понижение порядка уравнения хотя бы на 1 также может существенно ускорить, и облегчить, процесс нахождения его решений! Рассмотрим несколько специальных типов уравнений, позволяющих применить процесс понижения порядка заданного уравнения!
Тип–А.
Уравнение задано в виде:
=
.
Так как
=
,
то исходное уравнение можно записать
в виде:
=
и интегрировать его как уравнение 1-го
порядка: 
=
+
. (1)
Выражение является
дифференциальным уравнением
-
го порядка! Результат: для данного типа
уравнений удается исходную задачу
решения ДУ
-
го порядка свести к задаче решения ДУ
1-го порядка. Конечно, для полного решения
задачи придется применить найденный
способ
раз, но это уже не важно.
Тип–В.
Уравнение задано в виде:
,
то есть не содержит явно переменную
и производные порядка ниже
-
го не участвуют.
В этом случае
принимают:
=
и далее записывают:
=
,...,
=
.
В результате получаем уравнение: 
. (2)
Выражение (2)
является дифференциальным уравнением
порядка
.
Решением этого уравнения будет: 
, (3)
что равносильно
переходу к уравнению Типа–А:
=
=
.
Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .
Тип–С.
Уравнение задано в виде:
– не содержит явно переменную
.
В этом случае
принимают:
=
и далее записывают:
,
и так далее. В результате получаем
уравнение:
. (4)
Выражение (4)
является дифференциальным уравнением
порядка
.
Решением этого уравнения запишем в
виде: 
, (5)
что равносильно
переходу к уравнению первого порядка:
=
=
.
Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .
Тип–
D.
Уравнение задано в виде:
– полная производная по переменной
.
В этом случае «на
первом шаге интегрирования» имеем
уравнение 1-го порядка. Его решение
записывается в виде выражения:
далее решают уравнение порядка
.
Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .
Тип–
E.
Уравнение задано в виде:
,
причем функция F(...) –
однородная относительно переменных y,
y′, y′′,…
, y(n),
то есть:
=
.
(6)
В этом случае
применяют подстановку: u=
и переходят к уравнению порядка
.
Результат: для данного типа уравнений удается исходную задачу решения ДУ - го порядка свести к задаче решения ДУ порядка .
Рассмотренные типы уравнений имеют сходство в том, что в каждом случае поставленная задача «понизить порядок уравнения» решается по «стандартному алгоритму».
••• ≡ •••
Пример
1–211:
Решить
ДУ:
=
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение относится к Типу–А.
2).
В результате первого интегрирования
получаем:
=
+
=
+
.
3). В результате
2-го интегрирования имеем:
=
+
=
+
+
.
Учтем:
=
–
,
и запишем общее решение заданного
уравнения:
= – + + .
Ответ: общее решение: = – + + .
Пример
2–215:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение
относится к Типу–В: явно не содержит
.
Сразу учтем:
=0
является решением уравнения →
=
– решение.
2). Примем:
=
,
тогда
и уравнение принимает вид:
,
или
=
.
Теперь
(уже учтено!).
3). После интегрирования
получаем:
=
+
,
=
.
Из последнего интегрированием получаем:
=
,
или
– общее решение.
Замечание: 1). Из
исходного уравнения можно заметить
решение:
=
,
то есть
=
+
.
Это же получим, если заметить при решении
уравнения:
=
+
«ситуацию»
=0,
что легко проверяется.
2). Догадаться о необходимости рассмотрения отдельно случая =0 при решении уравнения: = + нетрудно, если все время помнить, что каждое нарушение «эквивалентности преобразований» требует соответствующей «реакции».
Ответ: – общее решение. Также решения = ; = + , которые из общего не получаются ни при каких значениях , .
Пример
3–219:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение относится к Типу– C: явно не содержит .
2). Примем:
=
→
и уравнение принимает вид:
,
или
=
.
Интегрируем последнее:
.
Разрешим относительно производной:
=
.
3). Интегрирование
уравнения:
=
дает:
=x+
.
Из полученного выражения видим, что
случай уравнения:
=
за счет выбора постоянной
даст такое же решение:
=
.
Последнее выражение можно записать в
виде:
,
заменив произведение
постоянной
.
Ответ: – общее решение.
Пример
4–235:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение
относится к Типу–С: явно не содержит
.
Из исходного уравнения имеем решение:
,
то есть
=0.
2). Примем:
=
→
и перепишем уравнение:
.
Так как решение
=0
уже учтено, то далее имеем:
=
.
Интегрирование уравнения даёт:
,
или
– уравнение с разделяющимися
переменными.
3). Последнее
уравнение запишем в виде:
=
→ интегрируем:
.
Ответ: общее решение: , также .
Пример
5–239:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, что
уравнение явно не «намекает» ни на какой
из рассмотренных типов уравнений. Но,
«по логике вещей», ему «придется быть»
Типом– D. Действительно,
исходное уравнение легко переписать в
виде:
.
2). Интегрирование
уравнения даёт:
– однородное уравнение. Решаем,
применяя стандартный алгоритм:
3). Примем
и запишем:
=
=
.
Исследуем равенство:
,
в нашем случае
,
–
семейство прямых, проходящих через
начало координат
.
4). Теперь примем
и вычислим интеграл
=
=
.
5). Для функции
получено общее решение:
=
,
или
.
Учитывая, что
,
перепишем общее решение использованием
:
.
Ответ: общее
решение:
,
также
,
которое может быть получено из общего
решения при значении произвольной
постоянной
.
Пример
6–241:
Решить
ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Решение:
1). Видим, уравнение
Типа– E: однородность
относительно переменных:
.
Из исходного уравнения имеем решение:
.
2). Перепишем
уравнение: x2
=
.
Далее стандартно: примем
=
и вычислим производную:
=
.
Учитывая
и
=
,
перепишем исходное уравнение в виде:
– линейное уравнение → применим
стандартный алгоритм, учитывая, что
и
.
Примем
,
где
и
.
3). Вычисляем
интеграл:
=
=
и записываем выражение:
=
=
.
4). Вычисляем:
=
=
+
=
.
5). Запишем общее
решение линейного уравнения:
=
∙
.
6). Учитывая
=
,
запишем уравнение:
– уравнение с разделяющимися переменными
→ интегрируем:
,
или
.
Ответ: общее решение: , также .
Пример
7–245:
Решить
ДУ:
,
=1;
=0.
Решение:
1). Видим, уравнение относится к Типу–А.
2). Интегрируем 1-й
раз:
.
Используя начальные условия, получаем:
=1.
3). Интегрируем 2-й
раз:
.
Используя начальные условия, получаем:
=3.
4). Записываем
частное решение для заданных начальных
условий:
.
Ответ: частное решение: .
Пример
8–251:
Решить
ДУ:
=
,
=0;
=1.
Решение:
1). Видим, уравнение относится к Типу–С: явно не содержит .
2). Примем:
=
→
.
Уравнение принимает вид:
,
или
=
.
Интегрируем последнее:
,
или
.
Для заданных начальных условий
=1.
Получено уравнение:
.
3). В результате
интегрирования имеем:
.
Для заданных начальных условий
=0.
Тогда можем записать:
,
причём
.
Ответ: частное решение: , причём .
☻
Вопросы для самопроверки:
В чем смысл задачи понижения порядка дифференциального уравнения?
Какие типы уравнений используются в задаче понижения порядка ДУ?
Как решают уравнения типа: y(n) = f(x)?
Как решают уравнения типа: F(x, y(k), y(k+1),… , y(n)) = 0?
Как решают уравнения типа: F(y,y′,y′′,…, y(n)) =0?
Как решают уравнения типа: (F(x, y, y′, y′′,…, y(n–1)))′ =0?
Как решают уравнения типа: F(x, y, y′, y′′,…, y(n)) =0, причем функция F(...) – однородная относительно переменных y, y′, y′′,… , y(n)?
В каких ситуациях возможна потеря части решений дифференциального уравнения?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C9–1:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
общее решение:
=
–
+
+
.
Пример
C9–2:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
решения: 1)
и
;
2)
;
3)
.
Пример
C9–3:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
–
общее решение.
Пример
C9–4:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
общее решение:
.
Пример
C9–5:
Решить ДУ:
,
используя метод понижения порядка.
Ответ:
общее решение:
,
также
.
Пример
C9–6: Решить
ДУ:
,
=1;
=0.
Ответ:
частное решение
для заданных начальных условий:
.
•• ☻☻ ••
ЗАНЯТИЕ 10. Линейные ДУ n-го порядка. Линейная зависимость решений линейного уравнения. Линейное однородное уравнение.
Ауд. |
Л-2, Гл. 10 |
№ 207, 287, 301, 315, 317, 321, 323, 325, 333, 337. |
10 |
☺ ☻ ☺
Общие
сведения. При выполнении задания
необходимо знать, что характеристические
корни находят из характеристического
уравнения. Характеристическое уравнение
строят, формально заменяя в линейном
однородном дифференциальном уравнении
-
го порядка с постоянными коэффициентами
производную
на степень
:
, (1)
причем запись (1) можно реализовать в обоих направлениях: имея ДУ, построить характеристическое уравнение, и наоборот.
Если известны
корни характеристического уравнения:
,
можно восстановить характеристическое
уравнение (согласно известной теореме
алгебры о разложении многочлена
-
степени в произведение
линейных множителей):
, (2)
учитывая тождественность многочленов левой и правой частей (2).
Из школьной алгебры
наиболее известен частный случай записи
(2) для многочлена 2-й степени (теорема
Вьета): 
, (3)
где
и
получены из тождественности левой и
правой частей выражения (3).
Если значение
коэффициента
не задано, принимают
=
1, что при выполнении заданий и следует
применять.
Задача: Пусть заданы характеристические корни: некоторого дифференциального уравнения. Имея эти корни, записать ДУ, для которого числа являются характеристическими корнями.
Далее выполняем стандартные действия:
1). Запишем характеристический многочлен, используя формальную запись:
. (4)
2). В выражении (4) раскрываем все скобки, приводим подобные члены и записываем характеристический многочлен, начиная со старшего члена по убыванию.
В результате выполнения этого действия, получаем характеристический многочлен:
. (5)
Замечание: кому известны формулы Вьета для коэффициентов многочлена - степени, можно ими воспользоваться!
3). Имея выражение
(5), строим ДУ, которому соответствует
данный характеристический
многочлен: 
. (6)
Замечание: запись (6) можно прочитывать как слева направо, так и справа налево, что важно при решении дифференциального уравнения!
4). Записываем ответ: – искомое дифференциальное уравнение.
Общие сведения. Наибольшие затруднения при решении дифференциального уравнения вызывает запись фундаментальной системы решений. Рассмотрим подробнее правила формирования ФСР по найденным характеристическим корням дифференциального уравнения:
1). Пусть
характеристические корни
,
и
дифференциального уравнения -
действительные и различные. Для этих
корней можно записать три частных
решения ДУ
,
и
,
которые независимы. Из этих решений
составляем ФСР (фундаментальную систему
решений), которая далее может использоваться
для записи общего решения.
2). Пусть
характеристические корни
,
и
действительные, причем:
=
=
.
Для этих корней можно записать три
частных решения ДУ
,
и
,
которые независимы. Из этих решений
составляем ФСР.
3). Пусть
характеристические корни
,
и
действительные, причем
=
=
=
.
Для этих корней можно записать три
частных решения ДУ
,
и
,
которые независимы. Из этих решений
составляем ФСР.
4). Пусть имеем
характеристические корни:
-
действительный корень,
- пара комплексно-сопряженных корней.
Для корней
,
можно записать три частных решения ДУ
,
и
,
которые независимы. Из этих решений
составляем ФСР.
••• ≡ •••
Пример
1–207:
Имеем
семейство прямых линий (не параллельны
оси
):
.
Найти дифференциальное уравнение, для
которого заданное семейство является
решением.
Решение:
1). Продифференцируем заданное выражение: = , далее =0.
2). Уравнение =0: и есть искомое ДУ.
Ответ: уравнение: =0.
Пример
2–287:
Исследовать
на линейную зависимость систему функций:
=
,
=
,
=
.
Решение:
1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского:
=
=
=
3
.
2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Значит, система функций линейно независима.
Ответ: система функций линейно независима.
Пример
3–301:
Имеем
фундаментальную систему решений (ФСР):
=
,
=
,
=
линейного однородного уравнения.
Составить это уравнение.
Решение:
1). Проверим, являются
ли заданные функции независимыми, иначе,
могут ли они быть ФСР. Составим определитель
Вронского:
=
=
/
2). На самом деле
функции ФСР, соответствующие
характеристическим корням ДУ будут:
=
1 =
– соответствует корень
=0,
=
=
– отмечает кратный корень
=0,
=
– соответствует корень
=1.
3). Составим
характеристический многочлен ДУ:
=
=
=0.
По характеристическому многочлену
«восстанавливаем» искомое уравнение:
=0.
Ответ: уравнение: =0.
Пример 4–315: По данным корням: =3 и = –2 характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.
Решение:
1). Учтем стандартную
запись уравнения 2-го порядка:
.
2). В нашем случае
получим:
.
3). Составляем ФСР:
,
.
Общее решение:
=
.
Ответ:
дифференциальное уравнение:
.
ФСР:
,
.
Общее решение уравнения:
.
Пример
5–317:
По
данным корням:
=
характеристического уравнения ЛОУ с
постоянными коэффициентами составить
ДУ и написать его общее решение.
Решение:
1). Учтем стандартную запись уравнения 2-го порядка: .
2). В нашем случае
получим:
.
3). Составляем ФСР:
,
и общее решение:
.
Ответ: уравнение:
.
ФСР:
,
.
Общее решение имеет вид:
.
Пример
6–321:
Найти
общее решение ДУ:
.
Решение:
1). Характеристическое
уравнение:
,
его корни:
,
.
2). Составляем ФСР:
=
,
=
и общее решение:
.
Ответ: ФСР:
=
,
=
.
Общее решение:
.
Пример
7–323:
Найти
общее решение ДУ:
.
Решение:
1). Составим
характеристическое уравнение:
,
его корни:
=
=3.
2). Составляем ФСР:
,
и общее решение:
.
Ответ: ФСР:
,
.
Общее решение:
.
Пример
8–325:
Найти
общее решение ДУ:
.
Решение:
1). Составим
характеристическое уравнение:
,
его корни:
=
.
2). Составляем ФСР:
,
и общее решение:
.
Ответ: ФСР:
,
.
Общее решение:
.
Пример
9–333:
Найти
общее решение ДУ:
.
Решение:
1). Характеристическое
уравнение:
,
его корни:
=0,
,
.
2). ФСР уравнения:
,
,
,
,
и общее решение:
.
Ответ: ФСР:
,
,
,
,
.
Общее решение:
.
Пример
10–337:
Найти
частное решение ДУ:
,
,
.
Решение:
1). Составим
характеристическое уравнение:
,
его корни:
=1,
=4.
2). Составляем ФСР:
,
и общее решение:
=
.
Найдем производную:
.
3). Для заданных
начальных условий:
=
,
=
.
Находим:
=1,
=0.
Следует частное решение:
.
Ответ: Частное решение: .
☻
Вопросы для самопроверки:
Задано уравнение 2-го порядка. Как проверить, что функция
есть решение уравнения?Задано семейство кривых. Как найти уравнение, для которого семейство есть решение?
Имеем совокупность функций. Что значит: функции линейно зависимы?
Что такое «определитель Вронского»?
Как определить, зависимы или нет функции данной совокупности?
Что такое «фундаментальная система решений – ФСР»?
Может ли понятие ФСР применяться к неоднородным уравнениям?
Как записывают общее решение линейного однородного дифференциального уравнения?
Каковы свойства общего решения ДУ?
Что значит решить задачу Коши для ДУ второго порядка?
Какова роль определителя Вронского при решении задачи Коши для ДУ n-го порядка?
Задачи для самоподготовки:
Пример
C10–1: Показать,
что данное выражение:
является решением дифференциального
уравнения:
при любых значениях
и
.
Ответ: тождество подтверждает: заданное выражение есть решение уравнения: .
Пример
C10–2: Имеем
семейство окружностей постоянного
радиуса:
.
Найти дифференциальное уравнение, для
которого заданное семейство является
решением.
Ответ:
уравнение:
.
Пример
C10–3:
Исследовать на линейную
зависимость систему функций:
,
.
Ответ: система функций линейно независима.
Пример
C10–4: Имеем
фундаментальную систему решений (ФСР):
,
линейного однородного
уравнения. Составить это уравнение.
Ответ:
уравнение:
.
Пример
C10–5: Имеем
фундаментальную систему решений (ФСР):
,
,
линейного однородного
уравнения. Составить это уравнение.
Ответ:
уравнение:
.
Пример C10–6: По данным корням: = =1 характеристического уравнения ЛОУ с постоянными коэффициентами составить ДУ и написать его общее решение.
Ответ:
уравнение:
.
ФСР:
,
.
Общее решение:
.
Пример
C10–7:
Найти общее решение ДУ:
.
Ответ:
ФСР:
,
.
Общее решение:
.
Пример
C10–8:
Найти общее решение ДУ:
.
Ответ:
ФСР:
,
.
Общее решение:
.
Пример
C10–9:
Найти частное решение
ДУ:
,
,
.
Ответ:
частное решение:
.
•• ☻☻ ••