2.3.2. Решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: .

Для решения уравнения, представленного в форме , будем использовать стандартный алгоритм:

1). Если возможно равенство: , тоявляется решением заданного уравнения − прямая, параллельная оси. Также, равенство:, тоявляется решением заданного уравнения − прямая, параллельная оси. Эти решения необходимо учесть при записи ответа.

2). Принимая , запишем уравнениев виде равенства:, которое можно интегрировать, считая, что.

3). Применяя интегрирование, получаем общее решение для дифференциального уравнения, заданного в форме :, то есть.

4). Если в задании указаны начальные условия: , то предполагается ещё найти частное решение (решить задачу Коши) уравнения. В точкемогут быть нарушены условия существования и единственности решения: в этом случае необходимо провести соответствующие обоснования!

5). Запишем все решения заданного дифференциального уравнения и укажем все особые точки уравнения (и особые решения), если они имеются, в Ответ.

☺☺

Пример 1–15: Решить дифференциальное уравнение: . Исследовать множество решений уравнения, применяя Теорему о существовании и единственности решения.

Решение:

1). Запись уравнения соответствует форме :, где,,,.

2). Так как имеет место равенство: , тоявляется решением заданного уравнения − прямая: ось. Это решение необходимо учесть при записи ответа.

3). Теперь учтём . и применим запись:. В нашем случае это равенство запишем в виде:=, считая, что.

4). Интегрируя равенство: =, получаем общее решение для дифференциального уравнения:, или, где.

5). Запишем заданное уравнение в нормальной форме: , к которой и применим теорему о существовании и единственности решения. Легко видеть, что областью определенияфункцииявляется множество точек всей плоскости. В области определениянеобходимые условия теоремы о существовании и единственности решения выполнены. Множество решений уравнения: интегральные кривые:и ось абсцисс, полученное при решении уравнения, соответствует утверждению теоремы.

Ответ: семейство кривых:,; уравнение особых точек не имеет.

Замечание: Форма записи общего решения: формально позволяет учесть и решение , если допустить в записи общего решения значение . Такое объединение решений определяется удобством использования решений уравнения!

Пример 1–16: Решить дифференциальное уравнение: , . Исследовать частное решение уравнения, применяя Теорему о существовании и единственности решения.

Решение:

1). Запись уравнения соответствует форме :, где,,,.

2). Так как имеет место равенство: , тоявляется решением заданного уравнения − прямая: ось. Это решение необходимо учесть при записи ответа.

3). Теперь учтём . и применим запись:. В нашем случае это равенство запишем в виде:−2=0, считая, что: умножение равенства на число 2 учитывает интегрирование этого равенства.

4). Интегрируя равенство: 2=, получаем общее решение для дифференциального уравнения:, или, где.

5). Запишем заданное уравнение в нормальной форме: =, к которой и применим теорему о существовании и единственности решения. Легко видеть, что областью определенияфункцииявляется множество точек всей плоскости, кроме точек, расположенных на осях координат. В области определениянеобходимые условия теоремы о существовании и единственности решения выполнены. Множество решений уравнения: интегральные кривые:и ось ординат, полученное при решении уравнения, соответствует утверждению теоремы.

6). Для заданных начальных условий:вычисляем значениеи определяем частное решение:– гипербола Начальные условия выделяют правую ветвь гиперболы! Учитывая результат предыдущего пункта, отметим, что в точкеусловие единственности для интегральной кривойвыполняется.

Ответ: общее решение уравнения; частное решение:.

☻