§ 4. Применение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: задачи из геометрии.

В общем случае уравнение кривой имеет вид: =0, где − параметр семейства кривых. Дифференциальное уравнение 1-го порядка может быть записано в виде =0. Геометрический смысл переменных − координаты произвольной точки кривой, геометрический смысл производной − тангенс угла наклона касательной в точке .

На рисунке представлена некоторая кривая =0. Для произвольной точкиэтой кривой построены касательнаяи нормальи выделены точки пересечения касательной и нормали с осямии, именно: а) для касательной: точкии; б) для нормали: точкии.

Простейшие геометрические задачи с использованием дифференциальных уравнений 1-го порядка можно построить, записывая равенства типа:=, гдепроизвольнаяфункция. Самый простой случай, когда=.

В общем случае рассматривают задачи, представляемые равенствами, в которые входят длины отрезков кривой: ,,,,,,и– отрезки касательной,– подкасательная,и– отрезки нормали,– поднормаль. Каждое такое равенство есть дифференциальное уравнение, определяющее совокупные геометрические свойства кривой. Решая уравнение, находят соответствующее семейство кривых с заданными свойствами. Задавая начальные условия, из семейства кривых выделяют единственную кривую.

Общая задача. В соответствии с рисунком определимхарактерные отрезкикривой,,,,,,,,,,,обозначив угловой коэффициент касательной в точкевеличиной.

Решение:

1). Запишем уравнение касательной для точки : . (11)

2). Запишем уравнение нормали для точки : . (12)

3). Определим координаты точек и пересечения касательной, представленной в виде выражения (12), с осями координат , ; вычислим ,:

а) для точки имеем:=0 → = → = → =; (13)

б) для точки имеем: =0 → = → = → =. (14)

4). Используя (13) и (14), вычислим длины отрезков касательной и :

а) =–=; ==; (15)

б) =–=; ==. (16)

5). Используя (13), вычислим длину подкасательной: =. (17)

6). Определим координаты точек и пересечения нормали, представленной в виде выражения (12), с осями координат , ; вычислим , :

а) для точки имеем:=0 → = → = → =; (18)

б) для точки имеем: =0 → = → = → =. (19)

7). Используя (13), вычислим длины отрезков нормали и :

а) =–=; ==; (20)

б) =–=; ==. (21)

8). Используя (16), вычислим длину поднормали: =.

Ответ: определены все характерные точки и отрезки произвольной кривой линии.

Замечание: Формулы (11)(21) используют координаты выделенной точки , но записанные соотношения выполняются для любой точки кривой линии. При определении свойств некоторой линии мы будем использовать совокупные свойства характерных отрезков ,,,,,,,,,,, по отношению ко всем её точкам! Это значит, что в формулах (11)(21) индекс, отмечающий использование точки не должен применяться!

☺☺

Пример 1–20: Найти уравнение кривой, проходящей через точку , зная, что длина отрезка , который отсекает касательная в произвольной точке кривой на оси ординат, равна удвоенной длине ординаты точки касания.

Замечание: При решении частных геометрических задач с применением дифференциальных уравнений 1-го порядка рекомендуем распечатать фрагмент настоящего Пособия от заголовка § 4 до символов: ☺☺ и применять как справочный материал. В приводимых ниже Примерах в условии конкретной задачи используются обозначения отрезков в соответствии с рисунком Общей задачи. Формулы, полученные в Общей задача и используемые в конкретной задаче, применять без доказательства, но внимательно прочитывая соответствующий фрагмент Общей задачи!..

Решение:

1). Используя результаты Общей задачи, запишем в виде формулы условие задачи: =2. Так как произвольная точка кривой обозначается как , то = и =. На рисунке (для формирования зрительного образа задачи!) отрезки и выделены красным цветом: рисунок отражает фрагмент одной из возможных кривых линий с выделенной касательной в произвольной точке.

2). Модульное равенство предполагает два случая записи условия (значит, и два случая решения) задачи:

▪ Случай-1: ;

▪ Случай-2: .

Случай-1.

1.1. Отметим, что в соответствии с записью уравнение не может иметь решение . Решение возможно, но не отражает существа решаемой задачи: назовём его тривиальным. Принимая и , запишем уравнение в виде: – уравнение с разделяющимися переменными.

1.2. Общее решение для этого уравнения представим в виде: , которое получено в предположении, что.

1.3. Учитывая свойства произвольной постоянной величины, общее решение запишем в виде: , ещё лучше в виде записи, используемой в элементарной алгебре: –семейство гипербол. На рисунке показаны интегральные кривые для случая>0 и для случая<0. Второе семейство кривых получаем из первого семейства кривых линий при помощи зеркального отображения относительно оси.

1.4. Учитывая начальные условия: кривая должна проходить через точку , выделим частное решение уравнения. Из равенства вычисляем =1, что выделяет из семейства интегральных кривых ту, которая проходит через точку : на рисунке эта кривая выделена, именно .

Случай-2.

1.1. Как и в Случае-1, в соответствии с записью уравнение не может иметь решение . Решение возможно, но не отражает существа решаемой задачи: назовём его тривиальным. Принимая и , запишем уравнение в виде: – уравнение с разделяющимися переменными.

1.2. Общее решение для этого уравнения представим в виде: , которое получено в предположении, что.

1.3. Учитывая свойства произвольной постоянной величины, общее решение запишем в виде: –семейство кубических парабол. На рисунке показаны интегральные кривые для случая>0 и для случая<0. Второе семейство кривых получаем из первого семейства кривых линий при помощи зеркального отображения относительно оси.

1.4.Учитывая начальные условия: кривая должна проходить через точку , выделим частное решение уравнения. Из равенства вычисляем =1, что выделяет из семейства интегральных кривых ту, которая проходит через точку : на рисунке эта кривая выделена, именно .

Ответ: общее решение: Случай-1 , Случай-2: ; частные решения: и , соответственно Решения уравнения: и отнесены к тривиальным решениям: теряют привычный геометрический смысл и не представляют для нас никакого интереса!

☻

Замечание: Учитывая результаты решения Общей задачи в начале настоящего параграфа, а также детально разобранный Пример, иллюстрирующий применение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными в геометрических задачах, рекомендуем каждому студенту самостоятельно построить Пример и решить его. Это поможет ещё больше прочувствовать и оценить возможности дифференциальных уравнений в инженерной практике!..