- •Часть 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Глава 1. Общие сведения. Теорема о существовании и единственности решения ду 1-го порядка. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- •§ 1. Общие сведения. Теорема о существовании и единственности решения ду 1-го порядка.
- •1.1. Определение и формы записи дифференциального уравнения.
- •1.2. Определение решения ду. Поле направлений и изоклины уравнения. Задача Коши.
- •1.3. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения вида для заданных начальных условий: .
- •§ 2. Уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •2.1. Формы записи дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
- •2.2. Простейшие задачи для дифференциальных уравнений 1-го порядка.
- •2.3. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •2.3.1. Решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: .
- •2.3.2. Решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: .
- •2.3.3. Решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: .
- •2.3.4. Исследование особой точки (0,0) для ду 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Применение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: задачи из геометрии.
- •§ 5. Применение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными: задачи из физики.
§ 2. Уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.
В теории дифференциальных уравнений дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными – простейшие. Выясним, что такое – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?
Пусть имеем функции: и . Выражение = есть первообразная для функции , что (в соответствии с определением) проверяется дифференцированием. Аналогично, выражение = есть первообразная для функции .
Допустим, что есть функция переменной . Учитывая выражение , можем записать: =.
Запишем равенство: +=. Используя правило дифференцирования суммы функций по переменной , получим уравнение: – дифференциальное уравнение относительно переменной , неизвестной функции: и её производной .
Учитывая, как было получено уравнение: , можем утверждать (в соответствии с определением), что неявная функция: =– есть решение этого уравнения. Учитывая выражение: =, уравнение запишем в форме с использованием дифференциалов: . (5)
Уравнение (5) называется уравнением с разделёнными переменными и . Так как равенства += и += равносильны, то решение дифференциального уравнения (5) запишем в виде: +=. (6)
Выражение (6) есть решение уравнения (5): определяет как неявную функцию независимой переменной . Симметричность выражения (5) позволяет считать, что это же уравнение определяет как неявную функцию независимой переменной .
Итак, решение уравнений с разделёнными переменными достаточно просто: нужно применить неопределённые интегралы к левой части дифференциального уравнения (5) и полученную сумму приравнять произвольной постоянной величине .
2.1. Формы записи дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Отметим существенные признаки дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: а) множитель дифференциала зависит только от переменной ; б) множитель дифференциала – только от переменной .
Если уравнение с использованием дифференциалов переменных и записано в виде выражения: . (7)
Уравнение, представленное в виде записи (7), называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как, разделив его на произведение , можем получить уравнение с разделёнными переменными и :
. (8)
Пусть дифференциальное уравнение 1-го порядка записано с использованием нормальной формы в виде записи: . (9)
Уравнение, представленное в виде записи (9), также называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как, разделив его на множитель и учитывая выражение , можем получить уравнение с разделёнными переменными и :
. (10)
Замечание: При переходе от записи уравнения в форме (7) к записи в форме (8) требуется проверка условий и . Аналогично, при переходе от уравнения (9) к уравнению (10) необходимо проверять условие . Если эти проверки не делать, то можно часть решений дифференциального уравнения потерять!
Учитывая определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, заметим, что в каждом из рассмотренных во введении примеров мы имеем уравнения с разделяющимися переменными:
1). В примере 1 использовалось уравнение – частный случай записи уравнения в нормальной форме (9), которое может быть записано в форме – уравнение с разделёнными переменными.
2). В примере 2 было получено уравнение в виде выражения = – частный случай записи уравнения (7). Так как , последнее запишем в виде: – уравнение с разделёнными переменными.
Во введении для нахождения законов движения при свободном падении тела, а также закона изменения давления атмосферы воздуха мы использовали понятие первообразной. Теперь, получив запись уравнения в форме дифференциального уравнения с разделёнными переменными, поиск решения осуществляется формальным применением неопределённого интеграла к уравнению. В примере 1 решение сразу можно записать в виде: , что легко приводится к записи: . Аналогично записываем: – решение уравнения в примере 2, которое может быть представлено в виде: .